Kapitel III. Metrische kubische Konstruktionen.
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Dieselbe Figur führt, wie bekannt, zur Konstruktion des regulären
Fünfecks. Wird nämlich = 36° genommen, so wird der Winkel
O QR = ORQ = 72°, also der Winkel QOR = 36°; folglich:
und demnach:
ф
AQOR~AOPR,
QR: PQ = PQ: PR,
d. h. PR durch den Punkt Q nach dem goldenen Schnitt geteilt.
Nimmt man für das reguläre Siebeneck o
360°
=
180°
7
so wird:
OQR
7
"
360
180
360/7
1807
540/540/
2z
ROS
=
Macht man RS
540°
7.
=
1, so
wird auch:
540°
RSO=
180/7
7 ;
folglich:
ORS =
180°
7
also:
PRS PSR =
=
540°
Setzt man jetzt noch OS = 2z, so ergibt sich wie oben:
x³-3x-220, 2+2y= x²,
aber außerdem ist hier:
=
1+2y=x+2z, also 2z = x² − 1 − x;
demnach folgt durch Elimination von z:
x²-1-
x³- x²-2x+1 = 0¹),
eine nach S. 63 offenbar irreduzible, auch nicht durch Quadratwurzeln
auflösbare Gleichung, so daß das reguläre Siebeneck nicht mit Zirkel
und Lineal konstruierbar ist.
1
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und
mathematica, Mediolani 1699) in dieser Figur den Schenkel P, P₁ P P
erhält dadurch als Bahnen der Punkte P₁, P, P., ... seine Kurven, die ge-
zeichnet vorliegend die Dreiteilung, Fünfteilung usw. ermöglichen. Er konstru-
iert auch ein Instrument, das die bewegliche Figur repräsentiert, wie es ähn-
lich auch Tschirnhausen getan hat.
1) Diese Gleichung findet sich ähnlich hergeleitet schon bei einem an-
onymen Araber, Zeitgenossen des Abu Sahl Alkuhi (980) (s. Woepcke, im An-
hang zur Algebra des Omar Alkhayyami); später bei Vieta (Variorum de rebus
mathematicis responsorum, Lib. VIII, Protasis IV, Opera math., Lugd. Bat. 1646,
p. 362).
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