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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
Problem der Dreiteilung des Winkels schon im Altertum gemacht
worden: 1)
Ist OPQ ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Basiswinkel
OPQ = POQ = 9,
so schneidet der Kreis 0(00) die Gerade [PQ] in R derart, daß
P
W
29
N
39
От
U
OQR
=
ORQ = 29, also
gleich 1, OP=x, OT-a,
Proportionen:
aus denen:
ROT = 39 ist. Setzt man den Radius
QR=2y, so ergibt die Figur die beiden
=
1+
X
X
2
x + a
1+2y
2(x+α)
-
2+2y x² und
1 + 2y
X
also:
x33x2a=0
(4)
folgt. Die Dreiteilung des Winkels ist geleistet, wenn die Strecke x
oder der Punkt P gefunden sind. Ist der Winkel ROT verhältnis-
mäßig klein, also a nahezu gleich Eins, so wird x nahezu gleich 2;
der für x2 bestimmte Punkt soll daher der approximative Tri-
sektionspunkt heißen. Er erhält später eine weitergehende Bedeutung.
An diese Figur, namentlich in der Erweiterung durch fernere
gleichschenklige Dreiecke PPP, PPP, usw. mit den Basiswinkeln
39, 49 usw. knüpfen zahlreiche Untersuchungen an.²)
P
P
P-
P₂
Ꮲ
Ps
1) Daß aus ROT=3. RPT folgt PQ0Q, ist der Inhalt des achten
der von den Arabern uns überlieferten Lemmata des Archimedes (s. Cantor I,
p. 256). Pappus (l. c., p. 273 ff.) schreibt diese Bemerkung ebenso wie die
andere, daß PV = 2 ⋅ OQ ist, den „Alten“ zu. Auf dieser beruht der Drei-
teiler von Amadori (Sulla trisezione d'un angolo qualunque. Savona 1883):
ein mit zwei Stiften P, V in zwei senkrechten Schlitzen OV, OP gleitendes
Lineal, so einzustellen, daß seine Verlängerung durch einen beliebig gegebenen
Punkt R des damit verbundenen Kreisbogens geht.
2) Z. B. bewegt Th. Ceva (Cycloidum anomalarum descriptio, s. Opuscula