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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
kürlich zu wählenden Geraden 3, 3 die eine ins Unendliche zu ver-
legen.
An Stelle des Kegelschnittzirkels tritt ein Parabelzirkel, der an
vier beliebige Tangenten (von denen eine fest gegeben sein kann)
die Parabel zu ziehen gestattet; oder ein Parabelzirkel, der durch
drei gegebene Punkte die Parabel gegebener Achsenrichtung zu ziehen
gestattet.
Auch der gezeichnet vorliegende Kegelschnitt darf eine Parabel
sein, so daß hier überhaupt nur der affin spezialisierte Kegelschnitt
zur Anwendung zu kommen braucht.
Aufgaben. Unter Zugrundelegung affiner Koordinaten zu zeigen,
daß jede kubische und biquadratische Gleichung durch zwei Parabeln
gelöst werden kann, von denen die eine gezeichnet vorliegt, die andere
durch vier Tangenten bestimmt wird.
Um zu einem unendlich fernen Punkt den konjugierten in bezug
auf zwei Kegelschnitte zu finden, ziehe man durch den Mittelpunkt
jedes der beiden Kegelschnitte einen Durchmesser in der durch den
unendlich fernen Punkt gegebenen Richtung; die beiden konjugierten
Durchmesser schneiden sich in dem gesuchten Punkte.
Daraus ergibt sich die erste affine Lösung der kubischen Fun-
damentalaufgabe:
Man nehme als Gerade 5 (S. 68) eine Tangente des der unendlich
fernen Geraden entsprechenden Polkegelschnitts, und zwar in dem
Punkte, der zu dem durch die gegebene Achsenrichtung bestimmten
unendlich fernen Punkte polar ist. Dadurch wird in der Tat eine
Parabel gegebener Achsenrichtung usw.
Ebenso einfach ergibt sich die zweite: Man wähle als Punkt H
den Schnittpunkt der zu den beiden gegebenen Tangenten (deren eine
die unendlich ferne Gerade ist) in der zur Steinerschen dualen Ver-
wandtschaft bezüglich K', K" entsprechenden Geraden. Dann wird L
in der Tat eine Parabel, die außer der unendlich fernen Geraden noch
eine gegebene Tangente hat, usw.
Kapitel III.
Metrische kubische Konstruktionen.
Diese unterscheiden sich von den affinen durch Hinzunahme des
Lotefällens oder der Kreispunkte. Es werden alle und nur die Punkte
und Geraden konstruierbar, deren Koordinaten kubisch irrational von
den Koordinaten der gegebenen Punkte und Geraden abhängen (metrisch
kubisches Netz).