Kapitel II Affine kubische Konstruktionen.
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liefert jedes Tripel ein Poltripel zu einem Kegelschnitt f(x, y) = 0,
der durch drei solcher Tripel bestimmt wird, usw.¹)
Die übrigen Schnittpunkte zweier Kurven dritter Ordnung zu
konstruieren, wenn von diesen Schnittpunkten sechs oder fünf und
außerdem noch auf jeder der beiden Kurven drei oder vier Punkte
gegeben sind.
Die drei übrigen Schnittpunkte zweier Kurven vierter Ordnung
zu konstruieren, wenn dreizehn dieser Punkte gegeben sind.")
Zu zeigen, daß die kubischen projektiven Aufgaben auch dann
lösbar sind, wenn außer dem gezeichnet vorliegenden nur solche Kegel-
schnitte benutzt werden, welche durch einen gegebenen Punkt des
gezeichnet vorliegenden Kegelschnittes und durch zwei andere ge-
gebene Punkte gehen.
Die Schnittpunkte einer durch hinreichend viele Elemente ge-
gebenen Kurve dritter oder vierter Ordnung mit einer Geraden zu
konstruieren. Die Tangenten an eine durch hinreichend viele Ele-
mente gegebene Kurve dritter oder vierter Klasse von einem Punkte
aus zu legen.
Kapitel II.
Affine kubische Konstruktionen.
Diese unterscheiden sich von den projektiven nur durch Hinzu-
nahme des Paralleleziehens, also der Einführung der unendlich fernen
Geraden. Für das Paralleleziehen kann wie früher der Mittelpunkt
des gezeichnet vorliegenden Kegelschnittes oder, wenn es eine Parabel
ist, deren Achsenrichtung gegeben sein. An Stelle der Doppelverhält-
nisse treten Verhältnisse, und die konstruierbaren Verhältnisse sind
die kubisch irrationalen in den gegebenen Verhältnissen (affin kubi-
sches Netz).
Die Fundamentalaufgabe kann durch die affin spezialisierte er-
setzt werden: Das Poltripel (oder die vier Schnittpunkte bzw. Tan-
genten) eines festen, gezeichnet vorliegenden Kegelschnitts und einer
Parabel von entweder gegebener Achsenrichtung oder gegebener Tan-
gente zu konstruieren.
Um dies einzusehen, braucht man nur entweder die Punkte I, J
(S. 68) zusammenfallend auf die unendlich ferne Gerade zu legen, oder
die ganze Betrachtung zu dualisieren und von den beiden dann will-
1) Ähnlich bei B. Klein, Trilinear symmetrische Elementargebilde, Mar-
burg 1881.
2) S. Smith, 1. c. Kortum, Geom. Aufgaben dritten und vierten Grades.
Bonn 1869.