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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
Punkte A', B', C', D', E' und A", B", C", D", E" gegebenen Kegel-
schnitten und " zu konstruieren. Diese Aufgabe ist sofort auf
die speziellere zurückgeführt, sobald gezeigt ist, daß man die beiden
Kegelschnitte projektiv so transformieren kann, daß in den ge-
zeichnet vorliegenden übergeht. Zu dem Zweck wähle man auf K
vier Punkte A, B, C, X beliebig und bestimme D, E aus den Doppel-
verhältnisgleichheiten:
X(ABCD) = E'(A'B'C'D'),
X(ABCE) = D´(A'B'C'E'),
ferner zu jedem beliebigen Punkte P den projektiv entsprechenden
Paus:
D(ABCP) = D'(A'B'C'P),
E(ABCP) = E' (A'B'C'P),
suche das gemeinsame Poltripel P, Q, R der beiden Kegelschnitte
[ABCDE] und [A"B"C"D"E"], und zu P, Q, R die rückwärts ent-
sprechenden Punkte P, Q, R.
Ferner zeigen wir, daß man die vier Schnittpunkte (ebenso auch
die vier gemeinsamen Tangenten) zweier Kegelschnitte konstruieren
kann, wenn das gemeinsame Poltripel P, Q, R bekannt ist (das Um-
gekehrte ist evident): Man nehme von mehreren Punkten einer Ge-
raden die Polaren in bezug auf beide Kegelschnitte; die Schnitt-
punkte entsprechender Polaren liegen auf einem durch P, Q, R gehen-
den Kegelschnitt, der also durch P, Q, R und zwei dieser Schnittpunkte
gegeben ist. Legt man von den Punkten:
([QR], G), ([RP], ]), ([PQ], G)
die Tangentenpaare an diesen Kegelschnitt und sind:
A, A', B, B', C, C'
die Berührungspunkte dieser Tangenten mit dem Kegelschnitt, so sind:
[PA], [PA'], [QB], [QB'], [CR], [CR']
die sechs gemeinsamen Sekanten.
Zum Beweise ist die Steinersche Verwandtschaft¹) zu betrachten,
die besteht zwischen einem Punkte X und dem Schnittpunkte Y der
beiden Polaren von X in bezug auf die beiden Kegelschnitte.) Be-
=
-
1) Steiner, Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer
Gestalten voneinander, Berlin 1832, p. 254 ff. Werke I, p. 407. Schröter,
Steiners Vorlesungen über die Theorie der Kegelschnitte, 2. Aufl., Leipzig 1867, p. 297.
2) Die beiden Punkte X und Y sind natürlich auch konjugiert in bezug
auf jeden andern Kegelschnitt, der mit den zwei gegebenen durch dieselben
vier Punkte geht, wie sofort aus dem Satze 2 p. 18 folgt. Der duale Satz: Die
Pole einer Geraden & bezüglich der Kegelschnitte einer Schar liegen auf einer
Geraden, liefert den Newtonschen Satz (p. 31, 2), wenn & die unendlich ferne
Gerade ist.