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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
von der die Konstruktion des regulären Siebenecks abhängt; aber
auch die Irreduktibilität der Gleichung:
x³-3x-2a
=
von der die Dreiteilung des Winkels abhängt für jeden beliebigen
Wert von a; denn es genügt hierzu die Irreduktibilität für irgend-
einen speziellen Wert von a, z. B. a =
= zu erkennen, welcher der
Konstruktion des regulären 9-Ecks entspricht; und die Gleichung
ist offenbar irreduktibel.
1
2
x² - 3x-10
Aber wenn eine kubische Gleichung irreduktibel ist, so ist sie
auch nicht durch einen quadratisch irrationalen Ausdruck auflösbar.
Genügte z. B. der Ausdruck:
x=p+Vq, mit nicht ausziehbarer Vq,
der Gleichung ¹):
so ergäbe sich durch Einsetzen:
Vq=
x³-3x 2 a
-
=
0,
p³3pq3p-2 a
3p+q-3
Hier müßte Zähler und Nenner verschwinden, also wäre
also:
= -
1
-q=3p² - 3 = + (p³ — 3p — 2a),
3p
(-2p)-3(-2p) — 2a 0,
d. h. x 2p eine rationale Wurzel der gegebenen Gleichung.
Allgemeiner, sind p und q selbst quadratisch irrationale Größen
(v-1)ter Stufe, so ergäbe sich eine Wurzel - 2p von (v-1)tor
Stufe, usw.
→
Demnach sind die oben als irreduktibel angeführten Gleichungen
auch nicht durch quadratische Irrationalitäten lösbar, die entsprechen-
den Aufgaben nicht mit quadratischen Konstruktionen, im metrischen
Fall nicht mit Zirkel und Lineal zu lösen.")
1) Auf eine solche läßt sich jede reduzierte kubische Gleichung von der
Form x3 3px-2q=0 durch die Substitution
xx Vp
bringen, also durch bloße Vermittlung einer Quadratwurzel.
2) Daß zur konstruktiven Lösung höherer Gleichungen Kreis und Gerade nicht
ausreichen, wußte bereits J. Chr. Sturm (Mathesis enucleata, Nürnb. 1695),
und Kepler erwähnt, daß sich das reguläre Siebeneck nicht konstruieren lasse
(Harmonice Mundi, Linz 1619, Lib. I, prop. 45); s. z. B. auch R. Ch. Wagner,
Examen methodi Renaldianae, Hamm. 1700, p. 8.