Dritter Teil.
Kubische Konstruktionen.
Algebraische Einleitung.
Wir verstehen hierunter Konstruktionen, welche, algebraisch ge-
sprochen, außer rationalen Operationen nur Quadrat- und Kubikwurzeln
erfordern. Auf diese Weise gebildete Ausdrücke nennen wir „kubisch
irrational". Die einfachsten sind die Wurzeln kubischer Gleichungen
die für die reduzierte Form der kubischen Gleichung:
x³-3px-2q = 0
durch die fälschlich sogenannte Kardanische Formel ¹):
3
x = ε √ g + V g² — p² + e² V-V-p, (-1, -1)
· − q
p³,
gegeben sind. Ferner gehören hierher die Wurzeln biquadratischer
Gleichungen. Denn eine reduzierte biquadratische Gleichung mit der
kubischen Resolvente:
z³ — az² + bz - c = 0
hat bekanntlich die Wurzeln 2):
ε √ ½ + ε' √ ( a − 2) + 26 · V ·
(ɛ = ± 1, ɛ'= ±1)
Im folgenden wird es notwendig werden zu entscheiden, ob eine
gegebene kubische Gleichung:
ax³ + bx² + cx + d : 0
-
1) Die Auflösung wurde zuerst von Scipione dal Ferro 1515 entdeckt, aber
nicht veröffentlicht, sondern handschriftlich seinem Schwiegersohn und Nachfolger
Annibale dal Nave vererbt; dann von Nicola Tartaglia 1534 selbständig nach-
erfunden, von diesem 1539 Cardano mitgeteilt, der sie dann 1545 in seiner Ars
magna veröffentlichte. Vgl. hierzu: Hankel, Zur Gesch. d. Math. im Altertum
u. Mittelalter, p. 360 ff. L. Matthiesen, Antike und moderne Algebra der litte-
ralen Gleichungen, Leipzig 1878.
2) Die Auflösung der biquadratischen Gleichungen stammt von L. de
Ferrari und wurde zuerst von Cardano in seiner Ars magna 1545 veröffentlicht.
Unter den späteren Auflösungen sind die von Descartes (La géométrie, 1637)
und von Euler (Com. Acad. Petrop. VI, 1739, Algebra, Petersb. 1770) hervor-
zuheben.