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Zweiter Teil. Quadratische Konstruktionen.
Um nun auf einer gegebenen Geraden & eine gegebene Strecke
von einem gegebenen Punkt A ab anzutragen, kann man sie zunächst
durch bloßes Paralleleziehen nach AB parallel verschieben; dann ziehe
man OP || AB, 0QG, mache OP und OQ gleich der Einheit,
ziehe BC|| PQ, so ist AC die Strecke in der verlangten Lage.
S
P
B
R
Q
A
C
Der Streckenübertrager ist ferner äquivalent dem Winkelhalbierer¹),
d. h. einem Instrument, mit dem man imstande ist, jeden gegebenen.
Winkel zu halbieren.
=
Denn erstens: um einen Winkel BAC zu halbieren, braucht man
nur AB AC zu machen, durch B die Parallele zu AC, durch C
die Parallele zu AB zu ziehen und die Diagonale des so entstehenden
Rhombus zu zeichnen.
Umgekehrt, ist ein Winkelhalbierer gegeben, so kann man durch
Halbieren von Nebenwinkeln rechte Winkel konstruieren, wodurch
zunächst in jedem Punkte auf jeder Geraden das Lot errichtet werden
kann. Man errichte nunmehr in A und B Lote auf AB, halbiere die
Rechten bei A und B durch AD und BC, so ist ACDB ein Quadrat;
also sind zunächst die metrisch linearen
Konstruktionen ausführbar.
Y
Um nunmehr eine Strecke auf die
Gerade AX vom Punkt A aus abzutragen,
verschiebe man sie zunächst durch
bloßes Paralleleziehen nach AB, ziehe
BY AX, halbiere ABY durch BE, so ist AE die übertragene
Strecke.
A
E X
Das Verhältnis der Konstruktionen mit dem Streckenübertrager
zu den metrisch quadratischen wird am deutlichsten, wenn man sich
den Streckenübertrager durch den Einheitsdreher ersetzt denkt. Dann
werden bei diesen Konstruktionen nur die Schnittpunkte des um 0
mit der Einheit zu schlagenden Kreises mit durch O gehenden Geraden
verwendet, während bei den allgemeineren metrisch quadratischen
Konstruktionen, wenn man diesen Kreis als Steinerschen zugrunde
legt, die Schnittpunkte dieses Kreises mit beliebigen Geraden ver-
wendet werden. Daraus geht hervor, daß nur solche metrisch qua-
dratische Aufgaben mit dem Streckenübertrager allein lösbar sein
1) Feldblum, Über elementargeometrische Konstruktionen. Diss. Göt-
tingen 1899.