Kapitel III. Metrische quadratische Konstruktionen.
59
liegenden Kreise finden kann; als diesen Kreis wählen wir den Kreis
mit dem beliebigen Mittelpunkt M und der Lineal breite als Radius.
Man fälle von M aus auf die gegebene Gerade & das Lot MQ, er-
richte auf MQ in M das Lot H, ziehe zu H im Abstande der Lineal-
breite beiderseits die Parallelen, welche auf MQ die Punkte A und B
ausschneiden, konstruiere zu A, B und Q den vierten harmonischen
S, lege von S aus die beiden Tangenten an den Kreis, indem man
das Lineal mit einer Kante an M, mit der anderen an S anlegt. Da
dies auf zwei Arten möglich ist, kommt hierdurch das Quadratische
hinein. Die Schnittpunkte der beiden Tangenten mit & sind zugleich
die Schnittpunkte von & mit dem Kreise.
Durch Papierfalten ¹) löst man leicht die Aufgaben: Strecken hal-
bieren, Lote errichten, Parallele ziehen, Lote fällen, Winkel halbieren,
also auch Strecken übertragen. Demnach kann man z. B. durch wirk-
liches Konstruieren, nicht bloßes Probieren 2), reguläre Dreiecke und
Fünfecke herstellen. Ein reguläres Fünfeck erhält man auch, wenn
man in einen Papierstreifen von konstanter Breite einen Knoten
macht und allmählich festzieht. (Ähnlich für das Sechseck.)
Die Konstruktionen durch Papierfalten sind identisch mit den
Konstruktionen mit Streckenübertrager.
Konstruktionen mit dem Streckenübertrager.³)
Unter einem Streckenübertrager verstehen wir ein Instrument,
mit dem es möglich ist, eine Strecke an eine gegebene Gerade von
einem gegebenen Punkte ab anzutragen, z. B. ein Lineal, an dem ein
Maßstab oder eine verschiebbare Marke angebracht ist. Dies Instru-
ment kann durch ein einfacheres ersetzt werden, welches nur eine be-
stimmte Strecke (die Einheit) und diese nur von einem bestimmten
Punkte O ab auf den Geraden dieses Punktes abzutragen gestattet.
Ein solches Instrument wollen wir einen Einheitsdreher nennen.
In der Tat, ist:
OP
=
0Q
=
OR= OS
=
die Einheit, so liefert das Rechteck PQRS zwei Paare Parallelen;
demnach sind zunächst die Aufgaben des Paralleleziehens lösbar.
1) Urbano d'Aviso, Trattato della sfera e Prattiche per uso di essa. Col
modo di fare la figura celeste. Opera cavata delli manoscritti del P. Bona-
ventura Cavalieri etc., p. 255, Rome 1682. E. Lucas, Récréations mathéma-
tiques (2) II (Paris 1896), p. 202. T. Sundara - Row, Geometrical exercises in
paper folding, Madras 1893.
2) H. Wiener, Herstellung Platonischer Körper aus Papierstreifen, in
W. Dyck, Katalog mathematischer und mathematisch - physikalischer Modelle,
Apparate and Instrumente, München 1892.
3) D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1903, p. 73. J. Kür-
schák, Math. Ann. 55 (1902), p. 597.