Kapitel II. Affine quadratische Konstruktionen.
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Kapitel II.
Affine quadratische Konstruktionen.
Als gegebene Konstruktionselemente sind zugrunde zu legen
zwei Paare Paralleler und ein gezeichnet vorliegender Kegelschnitt.
Durch Paralleleziehen ist der Kegelschnittsmittelpunkt konstruierbar.
Umgekehrt kann statt der Parallelen der Mittelpunkt des Kegelschnitts
gegeben werden; denn damit sind auch halbierte Strecken, nämlich
die durch den Mittelpunkt gehenden Durchmesser gegeben.
Ferner genügt es, wenn nur ein Durchmesser und außerdem ein
Paar paralleler, aber nicht zum konjugierten Durchmesser paralleler
Geraden gegeben wird. Denn diese liefern parallele Sehnen, die man
halbieren kann, und die Mittelpunkte ergeben einen zweiten Durch-
messer. Andrerseits wird durch ein Paar Paralleler nur ein Durch-
messer, also nicht der Mittelpunkt, und wenn kein Parallelenpaar ge-
geben ist, kein Durchmesser konstruierbar; das folgt wie in S. 23, 24
durch Annahme solcher Konstruktionen und geeigneter Zentralprojektion.
Insbesondere kann der gegebene Kegelschnitt eine Parabel sein,
dann muß statt des Mittelpunktes ein Durchmesser gegeben sein.
Ist nämlich [0] der gegebene Durchmesser und 0, 1, 2, 3, 4
Punkte der Parabel, so ist:
[([01][34]) ([0∞][23])]
eine Pascalsche Gerade; ihr Schnitt mit [12] gibt den Punkt, der
mit 4 und ∞ auf einer
Geraden liegt, so daß
man zu [0] eine Par-
allele erhält. Konstru-
iert man dann in O und
4 die Tangenten und
zieht durch deren
Schnittpunkt die Par-
allele zu [0], so wird
durch diese die Sehne
04 halbiert. Demnach
kann man auch in der
Richtung [04] Parallele
ziehen, also in jeder be-
liebigen Richtung.
Nunmehr ist zu zeigen, daß durch die affin quadratischen Kon-
struktionen alle und nur diejenigen Verhältnisse konstruierbar werden,
welche quadratisch irrational von den gegebenen abhängen (affin qua-
dratisches Netz).