52
Zweiter Teil. Quadratische Konstruktionen.
weiteres nach Poncelets Prinzip¹) der Kontinuität, das schon Monge 2)
stillschweigend benutzte, auf den allgemeineren Fall übertragen werden.
Das Entsprechende ergibt sich für den dualen Fall (drei Punkte, zwei
Tangenten) durch Gergonnes Prinzip der Dualität. 3)
-
Wenn von den vier Schnittpunkten zweier Kegelschnitte zwei
und außerdem von jedem Kegelschnitt noch drei Elemente gegeben
sind, dann die übrigen zwei Schnittpunkte und die vier gemeinsamen
Tangenten zu konstruieren. Dazu dual entsprechend: Wenn von
den vier Tangenten zweier Kegelschnitte zwei und außerdem von
jedem Kegelschnitt noch drei Elemente gegeben sind, dann die zwei
übrigen Tangenten und die vier Schnittpunkte zu finden.
Aufgabe von Castillon ¹): Ein n-Eck einem Kegelschnitt ein (bzw.
um)zubeschreiben und einem gegebenen n-Eck um- (bzw. ein)zu-
beschreiben.
Aufgabe von Steiner 5): Ein n-Eck einem gegebenen n-Eck um-
und einem gegebenen n-Seit einzubeschreiben.
1) Bull. de Ferussae 9 (1828), p. 225. Traité II, p. 359. Crelles J. IV
(1829), p. 1.
-
2) Géométrie descriptive (Paris 1799), vgl. H. Hankel, Die Elemente der
projektivischen Geometrie in synthetischer Behandlung (Leipzig 1875), p. 9.
3) Gerg. Ann. 15, 16, 17 (1824-27). Über die Geschichte dieses Prinzips
siehe E. Kötter, 1. c. p. 160 ff.
4) Diese berühmte Aufgabe findet sich für einen Kreis und n
3 in ge-
rader Linie gegebenen Punkten schon bei Pappus. Die letztere Beschränkung
hob 1742 Cramer auf, und Castillon (Nouv. mém., Berlin 1776, p. 265 ff.) löst die
Aufgabe als erster; im selben Band steht die Lösung von Lagrange, und 1780
erscheinen in den Petersburger Acta Acad. Sc. I, p. 91, 97, II, p. 70 die Lösungen
von Euler, Fuß, Lexell. In der Ausdehnung auf n Punkte lösten sie 1788 A. Gior-
dano aus Ottajano und Malfatti (Memoire mat.-fis. della Società Italiana delle
scienze IV, 1788), ferner 1796 L'Huilier (Nouv. mém., Berlin 1796 (publié 1799),
p. 94 ff.). Siehe auch Klügels Mathematisches Wörterbuch, III. Art. Kreis, § 105,
S. 155. Carnot, Géométrie de position, 1803, p. 383 ff., L'Huilier, Éléments d'ana-
lyse géométrique et d'analyse algébrique appliquées à la recherche des lieux
géométriques, Paris und Genf 1809. Gergonne, Encontre, Servois, Rochat, Brian-
chon, Poncelet, L'Huilier in Gerg. Annales de Math. I (1810, 1811), VII (1816,
1817), VIII (1817, 1818), XIV (1823, 1824), Journal de l'école polytechnique X
(1810), p. 1. Steiner, Geom. Konst., Anhang, Aufgabe 21 (Werke I, p. 519).
Seydewitz, Grunerts Archiv, Bd. 4 (1844), p. 421 ff.
Werke I, p. 511.
5) Die geom. Konstr., § 20, 1