Kapitel I. Projektive quadratische Konstruktionen.
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[ST], [QR]
[SR], [TQ]
[SQ], [RT]
gehören, eine Gerade 2 in den Punktepaaren einer Involution schneiden.¹)
In der Tat, sind AA' zwei konjugierte Punkte in bezug auf einen
Kegelschnitt f(x, y) = 0 der vier Punkte und in bezug auf einen
Kegelschnitt g(x, y) = 0 derselben vier Punkte, dann folgt aus S. 18
(2), daß A, A' auch konjugiert sind in bezug auf alle Kegelschnitte
f(x, y) + 2g(x, y) = 0;
dies sind alle durch die vier Punkte gehenden Kegelschnitte, da man
λ immer so wählen kann, daß fig=0 durch einen beliebigen
fünften Punkt geht.
Die Konstruktion ist auch auf folgendem Wege möglich: Man
projiziere P, Q, R von S aus in die Punkte A, B, C auf 2, von T
aus in die Punkte A', B', C′ auf £ und konstruiere die Doppelpunkte
der Projektivität (ABCX) = (A'B'C'X').
Ebenso sind die Tangenten von einem Punkte aus an einen durch
fünf Tangenten gegebenen Kegelschnitt zu konstruieren.
Durch vier Tangenten und einen Punkt oder durch vier Punkte
und eine Tangente ist ein Kegelschnitt zweideutig bestimmt, also
weitere Elemente desselben projektiv quadratisch konstruierbar. Sind
nämlich P, Q, R, S die vier gegebenen Punkte, L die gegebene Tan-
gente, ferner AA', BB', CC' die sechs Schnittpunkte von L mit den
Seiten des Vierecks PQRS, so sind nach dem oben angeführten Satze
die beiden Berührungspunkte X, Y der zwei Kegelschnitte das ge-
meinsame harmonische Paar zu den drei Paaren AA', BB', CC'.
Durch drei Punkte und zwei Tangenten oder durch drei Tan-
genten und zwei Punkte ist ein Kegelschnitt vierdeutig bestimmt,
aber die Gleichung vierten Grades, von der diese Bestimmung ab-
hängt, ist durch Quadratwurzeln lösbar, folglich sind weitere Ele-
mente eines solchen Kegelschnitts ebenfalls projektiv quadratisch kon-
struierbar.
Man erkennt dies am einfachsten, indem man den Fall betrachtet,
daß die zwei gegebenen Punkte die Kreispunkte sind; an drei Tan-
genten gibt es in der Tat vier Kreise, die aber quadratisch konstruier-
bar sind. Damit ist Grad und Charakter der algebraischen Gleichung
des Problems für diesen Fall erkannt, und das Ergebnis kann ohne
1) Sturm, Gerg. Ann. 17 (1826), p. 173. Der besondere oben benutzte
Fall stammt von Pascal (Essai pour les coniques, Oeuvres IV, p. 5). Einen noch
spezielleren Fall dieses ,,Desargueschen Involutionssatzes" benutzt Pappus (1. c.
p. 873) zur Konstruktion eines Kegelschnitts aus fünf Punkten.