Kapitel I. Projektive quadratische Konstruktionen. 49 liefern zwei Punkte der beiden gesuchten Strahlen. Denn es ist P, Q harmonisch zu I, J, als konjugierte Punkte in bezug auf den Kegelschnitt, und es ist [OP], [OQ] harmonisch zu [OA], [OA′] wegen der Harmonien am Viereck A¸Ã'‚'. Sind M, N die Berührpunkte der Tangenten aus P, so ist: O(IJAM) = O(IJMA'), O(IJAN) = O(IJNA'); wir wollen M und N die „Mittelpunkte" der Bogen AA' und Á‚‚' nennen, in bezug auf die Gerade [IJ]. Ist [BB'] eine zweite Sekante durch P, so ist ebenso O(IJBM) = 0(1JMB'), 0(IJBN) = 0(IJN B'), also auch: O(IJAB) = 0(IJB'A'). Zwei solche Bögen AB und B'A' sollen gleich" heißen in bezug auf die Gerade [IJ]. Die Definition ist zulässig, da der Satz gilt: Sind zwei Bögen einem dritten gleich, so sind sie einander gleich. Dieser Satz ist nichts anderes als der Pascalsche und [IJ] die zu- gehörige Pascalsche Gerade. Das Aufsuchen des gemeinsamen harmonischen Paares zu zwei gegebenen ist daher gleichbedeutend dem Bogenhalbieren in projek- tiver Verallgemeinerung. Der Kegelschnitt braucht nicht vollständig, sondern nur durch ein beliebig kleines Stück gegeben zu sein. Um das zu zeigen, wähle man eine den Kegelschnitt nicht schneidende Gerade AB beliebig, ferner sei 40 die Polare zu B, BO die Polare von A; F und G seien Punkte des Kegelschnitts auf OA und OB, D der Schnittpunkt von AG und BF. Unter Zugrundelegung der Koordinatenachsen OA, OB und des Einheitspunktes D muß die Gleichung des Kegelschnitts die Form haben (siehe S. 19): x² + y² = 1. Nun sei das gegebene Stück dieses Kegelschnitts durch die beiden Gleichungen: 1 t2 х = 1 + 12, 2 t y 1 + to und die Ungleichung: t'