Kapitel I. Projektive quadratische Konstruktionen.
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Es muß daher zu dem Lineal ein neues Konstruktionsmittel hinzu-
genommen werden. Dieses Mittel ist ein in der Konstruktionsebene
gezeichnet vorliegender Kegelschnitt.
Um mit Hilfe desselben die Punkte X und Y entsprechend der
zweiten Fundamentalaufgabe so zu konstruieren, daß:
(PQRX) = (P'Q'R'X) und (PQRY) = (P'Q'R'Y)
ist, projiziere man von einem Punkte S des Kegelschnittes die Punkte
P, Q, R, P', Q', R' auf den Kegelschnitt in die Punkte p, q, r, p',
q, r'. Ist dann:
P₁ = ([gr] [g'r]),
q₁ = ([pr'][p'r]),
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= ([pg'][gr]),
=
so schneidet die Pascalsche Gerade [P₁₁r] den Kegelschnitt in zwei
Punkten x, y, die von S aus projiziert, die Punkte X und Y ergeben.
Denn es ist, wenn noch
ist:
S
s = ([pp'][q₁₁])
(PQRX) = S(pqrx) = p´(pqrx) = (sr₁q₁x)
ebenso gilt für Y:
= p(p'q'r'x) = S(pqrx) = (P'Q'R' X);
·
(PQRY) = (P'Q'R'Y),
was zu beweisen war. Dabei ist von der projektiven Fundamental-
eigenschaft der Kegelschnitte (vgl. S. 15) Gebrauch gemacht worden.
Um hieraus die Auflösung der ersten Fundamentalaufgabe zu
bekommen, hat man die beiden Punkte X und Y zu konstruieren,
für welche:
ist. Denn aus:
folgt:
(AA'BX) = (A'AB'X)
(AA'XY) = (BB'XY) : 1
(AA'BX) = (AA'XB') (vgl. S. 45)
-
= (A'AB'X).
Daraus ergibt sich die folgende Konstruktion des gemeinsamen har-
monischen Paares X, Y zu A, A' und B, B'.
Man projiziere von einem beliebigen Punkte S des Kegelschnitts
aus die Punkte A, A', B, B' in die Punkte a, a, b, b' des Kegel-
schnitts und verbinde die Punkte
([ab][a'b']) und ([ab'][ab])
durch eine Gerade; diese schneidet den Kegelschnitt in zwei Punkten
x und y, die von S aus auf die gegebene Gerade projiziert die ge-
suchten Punkte X, Y ergeben.