Kapitel I. Projektive quadratische Konstruktionen.
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also:
Demnach ist:
(ABXY) = (ABXZ)².
(ABXZ) = √(ABX Y).
Man konstruiere nun das gemeinsame harmonische Paar ZZ' zu
den beiden Paaren AB und XY; dann ist:
1+ (ABXZ)
1-(ABXZ)
=
-
=
=
1+ (ABXZ') (AB Z'Z)
(AXBZ)
1 — (AB X Z') (AXBZ')
(AXBZ)
=
(AXBZ)
= (AXZZ')
(AXBZ) (AXZZ')
(AXBZ)
=
· (ZZ'AX) = (ZZ'AY) (ZZ'YX) =
– (AYZZ')
(AYBZ')
(AYBZ)
= -
=
— =
· (AYZB) (AYBZ')
1- (ABYZ')
1-(ABYZ)
1+(ABYZ) (ABZZ')
1-(ABYZ)
= ---
(ZZ'AY)
1+ (ABYZ)
1
--
(ABYZ)
Also:
1
1+
(ABZY)
1+(ABZY)
1
1-(ABZY)"
1
(ABZY)
(ABXZ) = (ABZY),
d. h. Z ist der gesuchte Punkt.
Multipliziert man die letzte Gleichung mit
(ABZZ') = (ABZʻZ),
so erhält man:
d. h. auch für Z' ist:
(ABXZ') = (ABZʼY),
(ABCZ')²= (ABCX) (ABCY),
so daß die Aufgabe die zwei Lösungen Z und Z' hat, die natürlich
auch imaginär sein können.
Umgekehrt wird durch die quadratische Fundamentalaufgabe nur
das Quadratwurzelziehen eingeführt. Denn ist ZZ' das gemeinsame
Ꮓ
+
Α'
Ζ'
B
harmonische Paar zu AA' und BB', so werden dadurch die neuen
Doppelverhältnisse
(AA'BZ), (AA'BZ')