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Zweiter Teil. Quadratische Konstruktionen.
Kapitel I.
Projektive quadratische Konstruktionen.
Vorbemerkung: Auf S. 4 ergab sich, daß zwei reelle Paare (z. B.
Punktpaare einer Geraden) stets ein gemeinsames harmonisches haben,
das aber nicht immer reell ist. Wir wollen es auch in dem Falle,
wo es imaginär ist, als durch die beiden Paare definiert ansehen, wie
wir dies schon wiederholt tun mußten.
Zum Verbinden und Schneiden wird nunmehr die quadratische
Fundamentalaufgabe hinzugenommen:
,,Zu einem festen Punktepaar A, A' und jedem anderen Paar B, B
derselben Geraden das gemeinsame harmonische Paar zu finden," oder
auch die Doppelpunkte der durch AA', BB' bestimmten Involution
zu finden.
Die Lösbarkeit dieser Aufgabe vorausgesetzt, kann man dann
auch zu zwei beliebigen Paaren A₁, A und B₁, B einer beliebigen
Geraden das gemeinsame harmonische Paar XX' konstruieren.
Zu diesem Zwecke projiziere man von
S = ([A₁A][A₁'A'])
die Punkte B₁ und B' auf [AA'] in B und B', konstruiere zu A, A'
und B, B' das gemeinsame harmonische Paar X, X' und projiziere
es von S aus auf [44] in X, und X', so ist dies das gemeinsame
harmonische Paar zu A, A,' und B₁, B.
Um wieder den Konstruktionsbereich, der durch Einführung dieser
S
A
A B
B
X;
Χι
A
B'
X
X
Aufgabe entsteht, festzustellen, zei-
gen wir, daß jetzt alle und nur
diejenigen Doppelverhältnisse kon-
struierbar werden, welche quadra-
tisch irrational von den gegebenen
Doppelverhältnissen abhängen.
Zu dem Zweck lösen wir die
Aufgabe, den Punkt Z bei ge-
gebenem ABCXY so zu konstru-
ieren, daß
(ABCZ) = (ABCX)·(ABCY)
ist. Diese Gleichung läßt sich auch folgendermaßen schreiben:
d. h.:
(ABCX): (ABCZ) = (ABCZ): (ABCY);
·
(ABXZ) = (ABZY).
Andererseits ist:
(ABXY) = (ABXZ) (ABZY),