Algebraische Einleitung.
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gehenden abhängt. In einem solchen Ausdruck denken wir uns sämt-
liche Nenner rational gemacht, ferner sämtliche Wurzeln soweit wie
möglich ausgezogen, z. B.:
oder
√11 +6√/2 = 3 + √2 ¹)
V13+9√/2 = (1+V2) V3 +V2 u. dgl.
Ferner denken wir uns die Anzahl der Wurzeln soweit wie möglich
reduziert, z. B.:
VA+BVR+VA-BVR-V2A +2VA- RB2.
Einen so behandelten Ausdruck nennen wir einen reduzierten;
ein reduzierter Ausdruckter Stufe hat genau 2r verschiedene Werte;
denn ist:
A+ BVR
dieser Ausdruck, also A, B und R von der (r-1)ten Stufe und VR
die zuletzt auszuziehende Quadratwurzel, und angenommen, es wären
2 der 2 Werte, die den 2r Vorzeichenkombinationen der Wurzeln
entsprechen, einander gleich; also z. B.:
A+ BVR A+ B'ε VR',
=
wo A', B', R' konjugierte Werte der Größen A, B, R sind und & ein
gewisses Vorzeichen bedeutet, so würde folgen:
(A — A'+ BVR)² = B'²R',
-
(A — A')² + 2 (A - A')BVR+BR = B'² R',
folglich, weil VR sich nach Voraussetzung nicht rational durch die
vorhergehenden Wurzeln ausdrücken läßt:
A = A',
BRB''R',
was unmöglich ist, wenn der zu beweisende Satz für die Ausdrücke
(r-1)ter Stufe vorausgesetzt wird; für die erste Stufe ist er evident.
Diese 2 Ausdrücke sind die 2 Wurzeln einer rationalen Gleichung
2rten Grades, die wie oben zu bilden ist.
1) Das erfolgt, wenn es möglich ist, nach der Formel
VA+BVR=V
´A + √ A². RB2
A-VA- RB2
+
2
2