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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
wird für große Werte von u und v nahezu gleich
a
(1) (1 - 4)(1 + 1)(1 +),
also nahe gleich 1+ (b − a ) ( — — — — — );
mus nahe gleich ¹)
a) (1 − 1);
also sein natürlicher Logarith-
( ~
~ − 1 ) ;
(b − a) ( 1 − 1) = AB.
u
-
-
υ
daraus folgt, indem wir die Punkte U und V in den unendlich fernen
Punkt von [AB] verlegen:
Die Strecken einer Geraden sind proportional den natürlichen Logar-
ithmen der Doppelverhältnisse, welche ihre Endpunkte mit dem zweimal
zu nehmenden unendlich fernen Punkt der Geraden bilden.
Da der Kreis durch kongruente Strahlbüschel erzeugt wird, so
sind seine Asymptoten, also die Kreispunkte auch als Doppelstrahlen
einer solchen „zirkularen" Projektivität, also, wie bei jeder, durch drei
Paare entsprechender Strahlen AA', BB', CC' bestimmt, die aber hier
gleiche Winkel bilden
▲ A A′ = ▲ BB′ = ▲ CC'.
Daraus folgt auf einem neuen Wege, der zugleich den projektiven
Grund erkennen läßt, daß die metrisch linearen Konstruktionen aus-
führbar sind, wenn statt der zwei rechten Winkel drei gleiche Winkel
gegeben sind, die man sich natürlich an einen Scheitel parallel ver-
schoben denken kann. Denn man kann zu jedem Strahl P des
Büschels den konjugiert harmonischen P' in bezug auf die Doppel-
ABCX
strahlen der Projektivität (2), d. h. in bezug auf die Kreis-
punkte konstruieren; dann ist aber PP. Ebenso konstruiert man
einen zweiten Rechten usw.
„Achsen“ eines Kegelschnitts sind konjugierte Zentralen, die zu-
gleich aufeinander senkrecht stehen. Sie sind also sowohl harmonisch
zu den Asymptoten (die ihrerseits das gemeinsame harmonische Paar
zu zwei Paaren konjugierter Zentralen sind), als zu den Kreisasym-
ptoten (definiert als gemeinsames harmonisches Paar zu zwei Paaren
Senkrechter). Demnach gibt es mit Rücksicht auf S. 5 (oben) bei
Mittelpunktskegelschnitten stets zwei reelle Achsen; bei der Parabel
ist eine die unendlich ferne Gerade.
,,Brennpunkte" eines Kegelschnitts sind solche Punkte, in denen
konjugierte Strahlen aufeinander senkrecht stehen, also eine zirkulare
Involution bilden. Berücksichtigt man, daß nach S. 19 (3) sich selbst
konjugierte Strahlen Tangenten sind, und daß die Doppelstrahlen einer
1) Daß um so genauer e=1+§, je kleiner ist, ist die Fundamental-
eigenschaft der Zahl e; siehe hierüber Teil V, Kap. 2.