Kapitel III. Metrische lineare Konstruktionen.
39
=
mit P(IJKL) zugleich der Peripheriewinkel o KPL von P un-
abhängig, bloß von K, L, also bloß vom Bogen 9 abhängig; wir
setzen daher
P(IJKL) = eF(p).
Für die Funktion F erhält man sofort eine Funktionalgleichung
aus P(IJKL) · P(IJLM) = P(IJKM), nämlich wenn LPM = &
gesetzt wird:
also ist F(+)
-
F(9) + F(v) = F(9 + 4),
F(9) von q unabhängig.
Stellt man die Funktion F graphisch dar, so folgt daraus, daß
die Kurve y = F(9) bei gleichen Abszissen-
zuwüchsen um gleiche Ordinatenunter-
schiede steigen (bzw. fallen) muß, d. h. die
Kurve geht durch die Schiebung
9 19+ 4
y | y + F(4)
in sich über, eine Eigenschaft, die bekannt-
lich nur der Geraden zukommt; also ist
F(9) eine lineare Funktion von 9.
-
=
P
Fo
-
Feti
Um sie genauer zu ermitteln, berücksichtigen wir erstens, daß
für = 0, d. h. KL das Doppelverhältnis P(IJKL) = 1, also
F(9) O wird: F(p) ist also gleich 29, worin λ eine Konstante
ist. Der Wert dieser Konstanten ergibt sich, indem man zweitens K
und L in die Endpunkte eines Durchmessers verlegt, dann ist einer-
nach dem Satz des Thales, andrerseits P(IJKL) = −1,
weil dies vier harmonische Strahlen sind. Folglich ist 2 aus
seits q
=
π
2
π
e 2 =
-
1
=
eri1)
zu bestimmen und hat demnach den Wert = 2i.
-
2i. Damit ist mit
den denkbar elementarsten Mitteln das wichtige Resultat von Laguerre)
gewonnen:
Ein Winkel ist der durch 2i dividierte natürliche Logarithmus
des Doppelverhältnisses, welches seine Schenkel mit den Kreispunkten bilden.
In ähnlicher Weise wird der metrische Begriff der Strecke auf
den projektiven des Doppelverhältnisses zurückgeführt. Es seien näm-
lich A, B, U, V mit den Abszissen a, b, u, v vier Punkte einer Ge-
raden. Das Doppelverhältnis:
u-a
v
(ABUV) =
-a
(1 – 1) (1 - 1/4)
응​)
u
-
b v
b
-
(1 − 1 ) (1 - 4)
-응​)
U
1) Siehe hierzu die Entwicklungen in Teil V, Kap. 2.
2) Laguerre, Nouv. ann. de math. 12 (1853), p. 57-Oeuvres II (Paris 1905), p. 6.