Kapitel III. Metrische lineare Konstruktionen.
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diesen Sätzen folgern wir zunächst den Satz des Apollonius: Die
Punkte konstanten Abstandsverhältnisses von zwei festen Punkten A,
B liegen auf einem Kreise, von dem ein Durchmesser durch A und B
harmonisch geteilt wird. Und auf Grund dieses Satzes und des Satzes
von Menelaus beweisen wir nunmehr den Satz von Bodenmiller ¹):
Die drei Kreise über den Diagonalen AA', BB', CC' eines voll-
G
H
ständigen Vierseits als Durchmesser schneiden sich in denselben zwei
Punkten. Ist nämlich O ein Schnittpunkt der über AA' und BB'
als Durchmesser beschriebenen Kreise, so ist
OF OF OH BF AH CF
=
=
OG OH OG BH AG CG'
also liegt auch auf dem Kreise mit CC' als Durchmesser. Dabei
wurde der Satz des Menelaus auf die Transversale [ABC] des Drei-
ecks FGH angewandt.
Jetzt sind wir imstande, wenn zwei Paare Senkrechter AA',
BB'eines Punktes O gegeben sind, auf jeder Geraden C von 0
die Senkrechte C' in O mit dem Lineal allein zu konstruieren. Zu
dem Zwecke schneiden wir die Geraden A, B, A', B' durch zwei be-
liebige Gerade eines beliebigen Punktes C von C in den Punkten A,
B, A', B', dann ist C'= ([AB′][A'B]) ein Punkt der gesuchten Senk-
rechten C'.
Wird noch durch zwei gegebene Parallelenpaare das Parallele-
ziehen ermöglicht, so kann man in jedem Punkte jeder Geraden das
=
=
1) Von Gudermann (Analytische Sphärik, Köln 1830, p. 138) als Boden-
millers Satz mitgeteilt. Siehe auch: Questions proposées, Gerg. Ann. XI (1820/21),
p. 132. Der obige Beweis ist von Möbius (Leipz. Ber. VI, 1854, p. 87 ff.
Werke II, p. 237 ff.). Aus diesem Satze folgt der von Gauß (Monatl. Korr. f.
Erd- u. Himmelskunde, Bd. 22, 1810 Werke IV, Göttingen 1880, p. 385 ff.),
daß die Mittelpunkte von AA', BB', CC' auf einer Geraden liegen, ein von
Newton nicht bemerkter Spezialfall seines Satzes, die Mittelpunkte der einem
Vierseit einbeschriebenen Kegelschnitte (einer Kegelschnittschar) liegen auf einer
Geraden (Principia I, lemma 25, corr. 3), von dem sich später ein Beweis er-
geben wird.