Kapitel II. Affine lineare Konstruktionen.
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BA' A'C, CB' = B'A, AC' = C'B,
=
--
C
so erhält man aus dem projektiven den affinen. Der affine Satz
des Menelaus lautet: (BCA') (CAB′)(ABC′) = 1, wenn A', B', C′ auf
einer Geraden liegen. In der Tat sind diese Verhältnisse
BA' CA AE
für [AE]|| [BC] der Reihe nach gleich CA AE BA
Aus dem affinen erhält man wie oben den projektiven;
und der affine ist derjenige Spezialfall des projektiven, in
dem eine Gerade die unendlich ferne ist.
B
E
B'
Für die Kegelschnitte ergibt sich nach ihren Schnitt-
punkten mit der unendlich fernen Geraden die Unterscheidung in
Hyperbel (reelle getrennte Schnittpunkte), Parabel (reelle vereinte),
Ellipse (konjugiert imaginäre). Die Tangenten in den unendlich fernen
Punkten, reell bei der Hyperbel, imaginär bei der Ellipse, heißen
,,Asymptoten“, „Zentrale" heißt die Polare eines unendlichfernen Punktes,
,,Mittelpunkt" der Pol der unendlich fernen Geraden. Von zwei kon-
jugierten Zentralen halbiert jede die der anderen parallelen Sehnen
und geht jede durch die Berührpunkte der der andern parallelen
Tangenten. Die Paare konjugierter Zentralen bilden eine Involution,
deren (reelle oder imaginäre) Doppelstrahlen die Asymptoten sind.
Die Sehne auf einer Zentrale heißt Durchmesser. Der unendlich ferne
Punkt der Parabel heißt ihre ,,Achsenrichtung".
Aufgaben: Von einer Parabel sind vier Tangenten, oder drei Tan-
genten und auf einer der Berührpunkt, oder zwei Tangenten mit ihren
Berührpunkten gegeben; von einer Hyperbel sind eine Asymptote und
noch drei Punkte, oder noch drei Tangenten, oder noch zwei Punkte und
die Tangente in einem, oder noch zwei Tangenten und der Berühr-
punkt auf einer gegeben, von einem Kegelschnitt sind die Asymptoten
und noch ein Punkt oder noch eine Tangente gegeben, von einer
Parabel ist die Achsenrichtung und noch drei Punkte oder noch drei
Tangenten oder noch zwei Tangenten und auf einer der Berührpunkt
oder noch zwei Punkte und in einem die Tangente gegeben, von
einer Hyperbel ist eine Asymptotenrichtung und noch vier Punkte
oder usw. gegeben, von einem Kegelschnitt sind die zwei Asymptoten-
richtungen und noch drei Punkte oder usw. gegeben, von einem Kegel-
schnitt sind eine Asymptote und die Richtung der andern und noch
zwei Punkte usw. gegeben, weitere Punkte und Tangenten und eventl.
die Asymptoten, die Zentrale zu einer gegebenen Richtung und die
konjugierte Zentrale, bei einer Parabel die Achsenrichtung zu kon-
struieren. Ebenso wenn von einem Kegelschnitt eine Zentrale und
noch vier Tangenten (oder usw.) gegeben sind¹), oder der Mittelpunkt
1) Daß es in der Tat (im allgemeinen) nur einen gibt, folgt aus dem
Newtonschen Satz, s. S. 31, Anm. 2.
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