Kapitel II. Affine lineare Konstruktionen.
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x = (P₁BA),|
y = (PCA)]
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wo PP₂ || AB und PP₁ || AC gezogen sind,
und die Koordinaten einer beliebigen Geraden [Q'Q"] die Verhältnisse:
=
(BQ A),
η (CQ"A).
= -
Die Bedingung dafür, daß der Punkt x, y auf der Geraden §, liegt,
lautet:
x + yn+1=0,
denn diese Gleichung wird in der Tat nach Einsetzen der Koordi-
naten die folgende:
und diese ist richtig, weil
PA PA
+
Q'A Q'A
=
1,
PA PQ
und
ist.
PA PQ"
Q'A Q'Q" Q'A Q'Q
=
Wie bei den projektiven linearen Konstruktionen lassen sich
nunmehr die weiteren Schlüsse vollenden, so daß wir den Satz aus-
sprechen können: „Durch affine lineare Konstruktionen werden alle
und nur die Verhältnisse konstruierbar, welche rational von den ge-
gebenen abhängen (affin lineares Netz).“
Streckenaddition.
Definition: Zwei Strecken heißen gleich, AB = A'B', wenn
AB || A'B' und AA' || BB′ ist“.
Diese Art Streckengleichheit erfordert also lediglich den Begriff
„Parallelität“.
Α'
Die Definition ist zulässig, weil offenbar der Satz gilt: „Sind
zwei Strecken AA', BB' einer dritten CC' gleich, A
so sind sie einander gleich". Das ist nichts anderes
als der in doppelter Weise affin spezialisierte
Desarguesche Satz.
C
B'
B
C'
Man kann von jedem Punkte aus eine und nur
eine Strecke abtragen, die einer gegebenen Strecke
gleich und mit ihr gleichen Sinnes ist, und zwar
durch bloße affine lineare Konstruktion. Infolgedessen läßt sich auch
jede Strecke vervielfachen und in eine gegebene Anzahl gleicher Teile
teilen.
""
Definition: Unter der Summe zweier Strecken versteht man die
Diagonale des Parallelogramms, dessen Seiten den beiden gegebenen
Strecken gleich sind".
Diese Definition ist zulässig, da offenbar gleiche Summanden