Kapitel II. Affine lineare Konstruktionen.
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gebenen durch affine lineare Konstruktion hervorgehen, entwickeln
wir die Theorie der Verhältnisse.
Unter dem Verhältnis (ABC) = (abc) dreier Punkte A, B, C
mit den Abszissen a, b, c wird der Quotient:
AC: BC a-c:b
=
- C
verstanden, der offenbar ungeändert bleibt, wenn man auf a, b, c die-
selbe affine Transformation x || ax +ẞ anwendet, d. h. wenn man den
Nullpunkt, von dem an die Abszissen zählen und die Maßeinheit (den
Maßstab) ändert. Ist
[ABC], so ist also:
U der unendlich ferne Punkt der Geraden
(ABC) = (ABCU).
Daraus oder auch direkt ergeben sich die beiden Fundamentalrelationen:
(ABC) + (ACB)
(ABC) · (BAC)
=
=
1.
1
(1)
und hieraus für die sechs Werte des Verhältnisses bei Vertauschungen
der Buchstaben:
(ABC) = 2,
(BAC) = 1,
(ACB) = 1 — λ,
(CAB)
=
(BCA)
=
1
1
-
1
"
(2)
(CBA)
-
-
1
Unter dem Antragen eines Verhältnisses (PQR) an zwei Punkte
A, B verstehen wir die Konstruktion eines Punktes C, so daß:
ist.
(ABC) = (PQR)
Durch A ziehe man '||, dann QS ||RT|| PA und schließ-
lich [TC] [SB]; oder in einer Formel:
C = ([AB][([R(PA)][A(PQ)])
([B([Q(PA)][A(PQ])]),
wenn mit (PA) usw. der unendlich ferne
Punkt von [PA] bezeichnet wird.
A
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