Kapitel II. Affine lineare Konstruktionen.
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wie das der teilerfremden Zahlen ab (mit a >b) gegeben, so liefert
der vierte harmonische D zu A, B, C das Verhältnis
AB: BD = AD – BD: BD
=
AD
BD
-1:1--1-a − b : b.
So fortfahrend gewinnt man durch bloße Harmonien weitere rational
geteilte Strecken, deren Verhältnisse in kleineren Zahlen ausgedrückt
sind, bis man zu einer im Verhältnis 1: 1, also halbierten Strecke
kommt.
Das Datum einer rational geteilten Strecke ist also dem Datum
einer halbierten Strecke, also dem Datum eines Parallelenpaares
gleichwertig.
Im vorhergehenden ist natürlich auch die Lösung der Aufgabe
enthalten: Wenn ein Parallelenpaar gegeben ist, durch irgendeinen
Punkt eine Gerade derselben Richtung zu ziehen. Denn man kann
zuerst auf der einen eine halbierte Strecke herstellen und dann zu
ihr die Parallele ziehen. Eine direktere Auflösung dieser Aufgabe,
ohne Vermittlung einer halbierten Strecke, ist die folgende.
Ist durch eine Parallele zu [AA′] || [BB'] zu ziehen, so lege
man durch R = ([AB][A'B']) eine beliebige Gerade &=
dann ist
=
[C([A′([AC]G)][B′([BC]G)])]
[PQR],
die gesuchte Parallele. Denn die Schnittpunkte P, Q, R entsprechen-
der Seiten der zwei Dreiecke ABC, A'B'C' liegen auf einer Ge-
raden (6), also gehen nach dem Desargueschen ¹) Satze die Ver-
R
B
B'
A
P
Α'
bindungsgeraden entsprechender Ecken [AA], [BB′], [CC'] durch
einen, in diesem Fall unendlich fernen Punkt. Die Richtigkeit des
Desargueschen Satzes folgt sofort daraus, daß die beiden Vierecke
BB'PR, AA'QR auf der Geraden [CC] Involutionen bestimmen, die
in fünf, also auch im sechsten Punkt übereinstimmen müssen.
Aber man kann in keiner anderen Richtung zu einer gegebenen
Geraden Parallele ziehen oder Strecken rational teilen. Denn an-
1) G. Desargues, Brouillon proiect. (Paris 1639), Œuvres (Paris 1864).