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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
geben sind, den andern Schnittpunkt (die andere gemeinsame Tan-
gente) zu konstruieren.
10. Wenn von einem Kegelschnitt zurei Punkte oder Tangenten
oder eine Tangente mit Berührpunkt gegeben ist und außerdem ein in
einem gegebenen Punkte dreipunktig berührender Kegelschnitt (durch
fünf Punkte), oder wenn ein Punkt (oder eine Tangente) und ein in
einem gegebenen Punkte vierpunktig berührender Kegelschnitt (durch
fünf Punkte) gegeben ist, weitere Elemente zu konstruieren. Dazu
sind die Sätze aufzusuchen, die zwischen Punkten oskulierender Kegel-
schnitte bestehen. ¹)
11. Existiert ein Poltripel des Kegelschnitts
ax² + by²+c+2dy + 2ex + 2fxy = 0,
···
welches dem Kegelschnitt a2+ ß′ n² + y² + · · · = 0 umgeschrieben
ist, dann existieren unendlich viele, und unendlich viele Poltripel des
zweiten sind dem ersten einbeschrieben; diese Kegelschnitte heißen
apolar 2), und es besteht die Bedingung
aa' + bẞ' + cy' + 2d8' + 2eɛ' + 2ƒ¥ = 0.
Also ist die Aufgabe lösbar: einen Kegelschnitt zu konstruieren, der
zu fünf gegebenen apolar ist oder zu dem fünf gegebene apolar
sind; dies sind die natürlichen Erweiterungen der Aufgaben, einen
Kegelschnitt aus fünf Punkten (Tangenten) oder aus fünf Paaren
konjugierter Punkte (Geraden) usw. zu konstruieren. Die Apolaritäts-
bedingung ist genau analog zu der Harmoniebedingung
ac' + bb'+ca' = 0
zweier Paare ax² + 2bx + c = 0 und a'x² + 2b'x + c = 0: Apolarität
ist die Übertragung der Harmonie auf Kegelschnitte.
12. Von zwei Kurven dritter Ordnung sind vier Schnittpunkte
und von jeder noch fünf Punkte gegeben; man soll Punkte des
Kegelschnitts konstruieren, der durch die fünf übrigen Schnitt-
punkte geht.
13. Von zwei Kurven dritter Klasse sind vier gemeinsame Tan-
genten und von jeder noch fünf Tangenten gegeben; man soll Tan-
genten des Kegelschnitts konstruieren, der die fünf übrigen gemein-
samen Tangenten berührt.
14. Von den neun Schnittpunkten (bzw. gemeinsamen Tangenten)
zweier Kurven dritter Ordnung (bzw. Klasse) sind acht gegeben; den
neunten (bzw. die neunte) zu konstruieren.")
15. Von einer Kurve dritter Ordnung (Klasse) sind neun Punkte
(Tangenten) gegeben, weitere zu konstruieren, z. B. die Schnittpunkte
1) Poncelet, Gerg. Ann. VIII (1817/18), p. 153; Traité, art. 320–325, 403.
2) Vgl. W. F. Meyer, Apolarität und rationale Kurven, Tübingen 1883.
3) Vgl. H. Durège, Ebene Kurven dritter Ordnung, Leipzig 1871.