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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
einmal ist der Kegelschnitt Ort der Punkte P, für die P(ABCD)
einen gegebenen Wert hat, andererseits der Ort der Schnittpunkte D
entsprechender Strahlen [OD], [PD] in zwei projektiven Strahl-
büscheln O(ABCD) und P(ABCD). Entsprechende Erzeugungen
bestehen für die Tangenten.
Zu den vier beliebigen Punkten A, B, C, D des Kegelschnitts
xy-λy μx = 0 nehmen wir zwei weitere beliebige
-
=
=
2
E(x−2+, y −2e+u), F(x−2+uf, y −7+r)
=
μ
f
hinzu und betrachten das dem Kegelschnitt eingeschriebene Sechseck
B
E
D
R
C
F
AECFBD. Die gegenüberliegenden
Seiten desselben
BD (x-1) und CE(y=ex)
schneiden sich im Punkte P(x=1, y=e),
ebenso die gegenüberliegenden Seiten
AD(y-1) und CF(x=fy) im Punkte
Q(x=f, y=1), und die gegenüberliegen-
den Seiten
AE(y=2e+u) und BF(x=1+µf)
im Punkte R(x = 2 + uf, y = λe+u); und diese drei Schnittpunkte P,
Q, R gegenüberliegender Seiten liegen nach (8) auf einer Geraden, weil
=
XR λ xp + µ XQ, Y Ŕ — λ Y p + Y q
R
ist (Pascalscher Satz ¹)). Übrigens ist deren Gleichung
(e-1)x+(f−1)y + (1—ef) = 0.
Dieser Satz ermöglicht die Konstruktion eines sechsten Punktes
zu fünf gegebenen Punkten ), so daß also auch hieraus wieder
folgt, daß ein Kegelschnitt durch fünf Punkte (deren keine vier in
1) Pascal, Essai pour les coniques, lemme 1. Oeuvres (La Haye 1779)
IV, p. 1ff. Der spezielle Fall dieses Satzes, in dem der Kegelschnitt aus zwei
Geraden besteht und der für die Grundlagen der Geometrie von besonderer
Bedeutung geworden ist (s. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1903,
Kap. VI), findet sich schon bei Pappus, 1. c., p. 893. Über die Geschichte des
Pascalschen Satzes s. E. Kötter, Die Entwicklung der synthetischen Geometrie,
Dtsch. Math. Ver. V (Leipzig 1898), p. 14 ff.
2) Solche Konstruktionen, aber auf Grund einer affinen Spezialisierung des
Desargueschen Involutionssatzes vom Viereck im Kegelschnitt (s. S. 51) finden
sich zuerst bei Pappus (1. c., p. 1077 ff.), dann namentlich bei Newton (Philos.
natur. princ. math., London 1687, I, 4, 5, p. 61 ff.; Arithmetica universalis, Cam-
bridge 1707, XIV, Probl. 57 ff.; Ed. Gravesande, Leyden 1732, p. 169). Für die
weitere Geschichte s. E. Kötter, 1. c., p. 28 ff.