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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
Dies vorausgeschickt ist nunmehr zu beweisen, daß durch bloßes
Verbinden und Schneiden nur solche Punkte und Geraden konstruiert
werden können, deren Koordinaten rationale Funktionen der Koordi-
naten der gegebenen Punkte und Geraden sind.
Zunächst läßt sich zeigen, daß jedes solche Doppelverhältnis
P(ABCD) rational durch die Koordinaten x, y des Punktes P aus-
drückbar ist.
Es ist nämlich:
D
P(CDAB) = (CDA'B');
ferner:
A(CDPB) = (CDÁ′E),
B(CDAP) = (CDEB').
Also nach (2):
B'
P
P(CDAB) = A(CDPB) · B(CDAP).
Folglich nach (3):
P(CDAB)
--
х
1
1
У
Ferner ist nachzuweisen, daß die Koordinaten des Schnittpunktes
P(x, y) zweier Geraden [QR] (₁, ₁) und [TS] (2, 2) sich rational
durch die Koordinaten von Q, R, S, T ausdrücken. In der Tat er-
geben sich nach (7) x und y aus den Gleichungen:
x §₁+yn₁ + 1 = 0,
x 2 + yn² + 1 = 0
und die Koordinaten, n, der Geraden [QR] aus:
₁₂+Y+ 1 = 0,
E 1 x
a
§ XR+N₁YR +1
1 x R + 1 YR + 1 = 0
und die Koordinaten 2, 12 der Geraden [ST] aus:
52 x 8+ NY s + 1 = 0,
S
2x + y + 1 = 0.
§ x N½
T
Sind jetzt Q, R, S, T konstruierte Punkte und
P = ([QS], [RT])
ein neuer, so entstehen die folgenden neuen Doppelverhältnisse:
Xp
=
B(ACDP),
yp= A(BCDP),
P(CDAB) = A(CDPB) · B(CDAP),
welche alle nach dem Vorhergehenden rationale Funktionen der vor-