Kapitel I. Projektive lineare Konstruktionen.
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Mit Rücksicht auf S. 10 folgt jetzt, daß das Doppelverhältnis
von vier Punkten
(X, Y)
(h=1,2,3,4)
einer Geraden gleich (x, xxx) oder auch gleich (1997) ist, und
daß das entsprechende für vier Gerade eines Punktes gilt.
Wir machen später vom Satz des Ceva (1678)¹) Gebrauch, dem-
zufolge ist
(BCA'P₁) (CAB'P₂) (ABC'P¸) = 1
oder, was dasselbe ist,
x
У
-
= (ABC'P3),
wenn P₁ = ([PA]), P,= (B[PB]), P,= (C[PC]) ist.
Nach dem dualen Satz, dem Satz des Menelaus (98 n. Chr.)³), ist
das Produkt der drei Doppelverhältnisse gleich Eins, welche von zwei
Geraden auf den drei Seiten eines Dreiecks gebildet werden. (Be-
weise s. S. 28, 29.)
Wenn der Punkt P auf der Geraden liegt, ist:
yn = (BCA'P¸) (CBA″Q₁) = (CBA'A') (CBA'Q₁) (BCA′P₁)
=
=
rğ =
=
-
- (CBA'Q₁) (BCA'P₁)
-(BCQ₁P₁), ebenso ist
-
- (ACQ₂ P₂),
2
− (BCQ₁A') (BCA'P₁)
oder wenn man A, C, Q, P, durch P auf die Gerade BC projiziert:
oder nach (1):
x=
= -
=
— (P₁CQ₁ B) — — (BQ₁ CP₁)
1
rk =
=
− (1 − (BC Q₁ P₁)).
Also ist:
x + yn+1=0
(7)
die Bedingung dafür, daß der Punkt (x, y) auf der Geraden [, ] liegt.
Wir ziehen daraus noch die Folgerung, daß mit zwei Punkten
P₁(x, y) und P(x, y) auch jeder Punkt
P(x
=
x₁+2x₂
1+2
" y
Y₁ + λy 2
1+2
auf einer Geraden liegt. Denn es wird
(x₁+λx₂) § + (Y₁ + ¿y₂)ŋ + (1+ λ)
dabei ist
=
· (x₁ § + y₁ n + 1) + λ (x₂ § + y₂ ŋ + 1) = 0,
(8)
=
х
-
X₁ x
Ꮖ .
-
=
y - Y₂
PP
P.P.
(9)
1) Vgl. Chasles' Aperçu, Übersetzung, p. 299; Möbius, Baryc. Calc., § 198.
2) Sphäricorum libri tres ed. Maurolykus v. Messina 1558; ed. Halley, Oxoniae
1707, III, 1. Vgl. Ptolemäi, Almagest I, 9; Schubert, Nov. Act. Petrop. 12
(1796), p. 165; Carnot, Transvers. 3: Möbius, Baryc. Calc., § 198.