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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
a-c a-x
aus zwei affinen Transformationen und einer Inversion zusammen-
gesetzt. Damit erhalten wir von neuem den Zusammenhang zwischen
x und x in einer Projektivität (abcx) = (a'b'c'x'). Infolgedessen ist
ferner das Doppelverhältnis von vier Punkten PQRS gleich dem
Doppelverhältnis der vier Doppelverhältnisse (ABCP), (ABCQ),
(ABCR), (ABCS) bei beliebigen Punkten ABC.¹) Denn jedes
solche Doppelverhältnis (ABCX) ist gleich
also eine
linear gebrochene Funktion der Abszisse des Punktes X. Umgekehrt
ist eine beliebige linear gebrochene Funktion k stets als Doppel-
verhältnis von x mit denjenigen drei Werten a, b, c des x anzusehen,
für welche das Doppelverhältnis die Werte 0 (für xb), ∞ (für
x = a), 1 (für x = c) annimmt; denn aus dem letzteren folgt
b
k
-
с
a - C
b -c b x'
.
b
a
x
XC
=
1, also ist
a-c a
b с
-
X
:
b
-
x
die gegebene linear gebrochene Funktion.
Konstruktion rationaler Funktionen von Doppelverhältnissen.
Im folgenden sollen alle Doppelverhältnisse in der Form
(ABCX)
mit drei fest gegebenen Grundpunkten A, B, C entweder gegeben
sein oder konstruiert werden.
I. Das Negative eines gegebenen Doppelverhältnisses (ABCD)
zu konstruieren.
Man konstruiere zu A, B, D den 4ten harmonischen Punkt X,
so ist:
(ABCX) = (ABCD)(ABDX) (nach (1))
——
(ABCD)
das gesuchte Doppelverhältnis.
II. Das Reziproke zu einem gegebenen Doppelverhältnis (ABCD)
zu konstruieren.
Man konstruiere den Punkt X so, daß
(ABCX)=(ABDO)
ist; dann wird
1
(ABCX)=(ABDC)
=
(ABCD)
(nach (1))
das gesuchte Doppelverhältnis.
III. Zu einem gegebenen Doppelverhältnis (ABCD) die Er-
gänzung zu 1 als Doppelverhältnis zu konstruieren.
1) Möbius 1. c., § 186.