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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
AB
ist. Die Involution (ABC) ist mit der Projektivität (BCC) iden-
B'
tisch. Man kann zu sieben gegebenen Punkten den achten projek-
tivischen durch bloße Harmonien finden (s. Aufg. 21 S. 21). ¹) Das
ist von theoretischem Interesse; eine einfachere Auflösung dieser Auf-
gabe folgt weiter unten.
Diese Definitionen und Sätze sind ohne weiteres auf die Strahlen
eines Punktes zu übertragen.
Allgemeiner nennt man die Gesamtheit der Punktpaare XX',
für die
oder, was dasselbe ist,
(ABX X') = (A'B'X'X)
(ABA'X) = (A'B'AX')
ist, eine Involution, und für die
(ABCX) = (A'B'C'X')
ist, eine Projektivität. 2)
Daraus folgt:
BC. A'C'. AX B'X' - AC. B'C'. BX A'X' = 0,
.
d. h. für die Abszissen x, x' zweier entsprechender Punkte eine bilineare
Relation:
λ — µ'x — µ x' + xx′ = 0.
Genügen ihr a, a, b, b', c, c', x, x', so erhält man durch Elimination
von λ, u, u die Gleichung der Projektivität:
1 a
a
a a'
1
b b'
bb'
0,
1 с
c
cc'
1
x
x'
xx
die sich für ca',
c'a leicht in die Gleichung der Involution
überführen läßt:
1
a + a' a a'
1
b÷b'
bb
0.
1 x+x' xx'
Diese bilineare Gleichung zwischen x und x' ist symmetrisch (u=µ').
Also gibt es in einer Involution oder Projektivität ein Paar sich
selbst entsprechender Punkte X = X′ und Y= Y'. In einer Involution
1) Siehe Wiener, Leipz. Akad. Ber. math. phys. Kl., Bd. 43 (1891), p. 670.
2) Steiner, Systematische Entwicklung I, Art. 10 Werke, Bd. I, p. 261.
Kollineation bei Möbius a. a. O., Kap. 7, Homographie bei Chasles, Géométrie
supérieure (Paris 1852), Aperçu historique sur l'origine et le développement des
méthodes en géométrie (Paris 1837, 2. Aufl. 1875), deutsch (Geschichte der Geo-
metrie) von Sohnke (Halle 1839).