Kapitel I. Projektive lineare Konstruktionen.
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drei Paare (4), (B), (C) permutiert und die Elemente jedes Paares
unter sich vertauscht werden dürfen. Auch folgt hieraus, daß die
drei Paare ein gemeinsames harmonisches haben.¹) Das Verschwinden
dieser Determinante ist nämlich die notwendige und hinreichende Be-
dingung dafür, daß die drei Gleichungen der Harmonie (s. (4))
x y − 1 / (x + y) (a + a') + aa'= 0,
1
xy — — (x + y) (b + b') + bb′ = 0,
-
2
xy — — (x + y) (c + c') + cc' = 0)
-
eine gemeinsame Lösung für xy und x + y haben.
АВС
Die Harmonie (ABCD)
-=
1 ist mit der speziellen Involution
(ABC) identisch; denn man erhält für letztere (ABCD) = (ABDC),
also 1. Ebenso entspricht dem Harmoniesatz am Viereck (s. S. 6)
ein allgemeinerer Satz für die Involution, nämlich: Die sechs Schnitt-
punkte ABC A'B'C' einer Geraden & mit den sechs Seiten ABC A'B'C'
eines Vierecks PQRS sind in Involution.
In der Tat ist
(ABCA)=(ARQT)=(AC'B'A')=(A'B'C'A).
Dadurch läßt sich zu fünf Punk-
ten der sechste involutorische
mit dem Lineal allein finden,
oder also, was dasselbe ist, der
vierte harmonische C' zu drei
Punkten XYC, von denen das
Paar XY nicht explizite, son-
dern implizite, nämlich als ge-
meinsames harmonisches von
zwei Paaren AA', BB' gegeben
ist. Dasselbe ist durch bloße
Harmonien zu bewerkstelligen
(s. Aufg. 20 S. 21).
T
R
B
B'
u'
ΤΑ
133
B
બ
Acht Punkte ABCDA'B'C'D' einer Geraden mit den Abszissen
ABCD
abcda'b'c'd liegen projektivisch oder bilden eine Projektivität (47
A'B'C'D'
wenn
(ABCD) = (A'B'C'D')
1) Siehe z. B. O. Hesse, Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der
Geraden usw. (Leipzig 1865), p. 76.