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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
Dabei verstehen wir unter S(ABCD) allgemein das Doppelver-
hältnis der vier von S nach A, B, C, D gezogenen Geraden; ebenso
bedeute G(ABCD) das Doppelverhältnis der vier Schnittpunkte von
mit den vier Geraden A, B, C, D.
Demnach werden vier Strahlen eines Punktes von jeder Geraden
in vier Punkten desselben Doppelverhältnisses geschnitten und vier
Punkte einer Geraden von jedem Punkte aus durch vier Strahlen des-
selben Doppelverhältnisses „projiziert“, d. h. Doppelverhältnisse werden
durch Projizieren und Schneiden nicht verändert. ¹)
A
Zufolge dieser Eigenschaft wird (s. Fig.)
(ABCD) = (A'B'C'D) = (BACD)
S
B'
C B
D
also
=
1
(ABCD) '
= -
(ABCD) — — 1,
weil (s. S. 3) der Wert +1 nur beim
Zusammenfallen zweier Punkte eintreten
könnte.⁹)
Infolgedessen liegen die vier Punkte
A, B, C, D harmonisch, und man erhält
z. B. den vierten Punkt D zu den drei
gegebenen Punkten A, B, C nach Wahl eines Punktes S nicht auf
[ABC] und eines Punktes T auf [SC], aus
D= ([AB][([AS][BT]) ([AT][BS]]).³)
Sechs Punkte A, B, C, A', B', C' mit den Abszissen a, b, c, a',
b', cʻ liegen „involutorisch“ oder bilden eine „Involution“ (ABC),
(ABCC') = (A'B'C'C)
ist.) Die Bedingung läßt sich leicht in die Formen setzen:
(a−b') (b— c') (c— a') + (a'—b) (b'— c) (c'— a) = 0
wenn
oder
1
a + a'
a a'!
1
b+b
bb'
= 0.
1
c+c
cc'
АВС
A'B'C'
Aus der letzteren geht hervor, daß in einer Involution (ABC) die
1) Pappus 1. c., p. 871. Carnot 1. c.
2) Pappus 1. c., p. 875.
3) Diese wichtige Konstruktion stammt nach Steiner (Werke I, p. 290)
von Ph. de la Hire (Sectiones conicae, Paris 1685).
4) G. Desargues, Brouillon proiect (Paris 1639), Oeuvres (Paris 1864) I,
p. 119. Der Sache nach schon Pappus bekannt; 1. c. p. 873. Desargues betrachtet
zuerst Strahlbüschel und entsprechende Scharen von Kurven wie später all-
gemein Lamé (1818).