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Erster Teil. Lineare Konstruktionen.
so überzeugt man sich durch einfache Ausrechnung, daß der Fall der
Harmonie durch das Verschwinden der „kubischen Invariante":
a, b, с
93
=
b, c, d
c, d,
1
=
27
-
((X3 — X₁) (X4— X2) + (X1— X¸) (X3 — X2)) ((X2 — X₁) (X4— X3)
-
-
+ (X4— X1) (X2 — X3)) ((X2 — X₁) (X3— X4) + (X3— X1) (X2 — X4)),
der Fall der Äquianharmonie durch das Verschwinden der „quadra-
tischen Invariante":
1
12
9ae4bd3c²
{ (X3 — X1 ) (X4 — X2) (X4 — X3) (X2— X1) + (X2−X3)² (X、—7 X₁)°},
der Fall der Singularität durch das Verschwinden der „Diskriminante":
1
=
64
Δ
3
=
92³ — 27g32
((X1 — X2) (X¡— Xg) (X1 — X¸) (X2 — X3) (X2 — X4) (X3 — X4))²
charakterisiert wird, oder auch, daß diese drei Fälle bzw. den Werten:
der „absoluten Invariante":
entsprechen.
∞, 0, 1
9.3
2
27 93
Das gemeinsame harmonische Paar x, y zu 2 gegebenen a, a' und
b, b' wird wie folgt gefunden ¹): aus
und
folgt
-
-
(a − x) (a'— y) + (a − y) (a´— x)
=
0
(b − x) (b'− y) + (b − y) (b'— x) = 0
-
XY
―
und
1
— (x + y) (a + a') + aa'= 0
(4)
1
xy
2
(x + y) (b + b') + bb'= 0,
also zur Bestimmung von x und y:
1) Hierauf beruht Legendres Transformation der elliptischen Integrale.
(Transc. ell. 1793, n° 5).
Der Integrand
dz
V(a — z) (a'— z) (b − 2) (b´— z)
X-2
geht nämlich durch
t bis auf einen Zahlenfaktor über in
y
2
dt
V (1−ất (1–ut