Kapitel I. Projektive lineare Konstruktionen.
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Durch das Zusammenfallen irgend zweier der vier Punkte er-
geben sich die folgenden singulären Fälle:
=
(ABCD) = 0, wenn entweder AC oder B D ist,
(ABCD)
(ABCD):
=
=
1; d. h. (ACBD) = 0, wenn entweder A-B od. C=D ist,
co; d. h. (ABDC)=0,
""
A=D B=C
""
""
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Außerdem sind von Wichtigkeit die Fälle der Harmonie ¹) und .
Äquianharmonie.*) Sind nämlich von den 6 Werten:
2,
2'
1 1-1/2
1
-
1
-
1'
2
die übereinanderstehenden einander gleich, so ist:
22=1, 2
- ―
1,
weil der Wert +1 nur beim Zusammenfallen zweier Punkte eintreten
kann. Die sechs verschiedenen Werte des Doppelverhältnisses redu-
zieren sich dann auf die drei verschiedenen Werte:
1
Daraus folgt:
-
1, 2,
2
=
AC: BC AD: BD,
und man sagt: Die Strecke AB ist durch C und D harmonisch oder
von innen und außen in gleichem Verhältnis geteilt.
Sind aber von jenen sechs Werten je drei nebeneinanderstehende
einander gleich, also:
22-2+1= 0,
d. h.
a
1+V
3
=
2
so reduzieren sich jene sechs Werte des Doppelverhältnisses auf diese
zwei Werte. In diesem Falle nennt man die vier Punkte, die dann
natürlich nicht alle reell sind, äquianharmonisch gelegen.
Nimmt man einen Anfangspunkt O auf der Geraden an und
setzt die „Abszissen":
ferner
OA = x1,
Ха
OBX2, OC = X3, OD = x47
=
— X₁) (X — X4)
(x — X¸) (x — X₂) (x — X3) (x − x¸) = αx¹ + 4bx³ + 6cx² + 4dx+e,
1) Von den Pythagoreern eingeführt. Vgl. M. Cantor, Gesch. d. Math. I
(Leipzig 1880), p. 140.
2) L. Cremona, Curve piane 1862, p. 27. Deutsch von M. Curtze (Greifs-
wald 1865). Schröter, Math. Ann. 10 (1876), p. 420.
1*