Erster Teil.
Lineare Konstruktionen.
Kapitel I.
Projektive lineare Konstruktionen.¹)
Als Fundamentalaufgabe (konstruktives Postulat) im Gebiete der
projektiven linearen Konstruktionen ist das mit dem Lineal allein
ausführbare Verbinden zweier Punkte durch eine Gerade anzusehen.
Das Aufsuchen des Schnittpunkts zweier Geraden wird als keine be-
sondere Operation betrachtet, der Punkt vielmehr als mit den Ge-
raden zugleich gegeben angenommen. Die Hauptfrage ist: Wie sind
diejenigen Punkte und Geraden (das projektiv lineare Netz) zu charak-
terisieren, die sich durch bloßes Verbinden und Schneiden aus ge-
gebenen Grundpunkten und -geraden ergeben?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Theorie der
Doppelverhältnisse 2) vorausschicken. Unter dem Doppelverhältnis
(ABCD) von 4 Punkten einer Geraden verstehen wir die Größe:
-
AC AD
(ABCD) = BC BD'
A B C D
die offenbar unverändert bleibt, wenn man das erste Paar AB mit
dem zweiten CD oder wenn man A mit B und zugleich C mit D
vertauscht. Dabei sind aber die Strecken mit einem Vorzeichen zu
nehmen, entsprechend einem auf der Geraden willkürlich festgesetzten
Sinne, so daß z. B.
AB BA,
―
1) Derartige Konstruktionen gehen zurück auf F. Schooten, Exerc. math. II
(Leyden 1657); J. H. Lambert, Freie Perspektive, Zürich 1759, 2. Aufl. 1774.
Von Lambert stammt die Bezeichnung,,Linealgeometrie". Servois, Solutions
peu connues de différents problèmes de géometrie pratique (Metz 1804); Ch. J.
Brianchon, Application de la théorie des transversales (Paris 1818); Poncelet,
Réflexions sur l'usage de l'analyse algébrique dans la géometrie; suivies de la
solution de quelques problèmes dépendant de la géometrie de la règle, Gerg.
Ann., Bd. 8 (1817, 1818), p. 141 ff. und Traité des propriétés projectives des figures
(Paris 1822), 2. Aufl. 1864.
2) Doppelverhältnisse finden sich wohl zuerst bei Pappus, s. Pappi Alexan-
drini Collectionis quae supersunt ed. F. Hultsch (Berlin 1876/78), p. 871.
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
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