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V. Metrische Geometrie.
a
b
e
e
a
e
b'
e'
also b = b' sein.
124. Diese Überlegungen sind fast unmittelbar auf den Nicht-
Euklidischen Fall zu übertragen, in welchem keine uneigentlichen
Punkte existieren, indem man als Inhaltsmaß eines Dreiecks den stets
positiven Exzeß der Winkelsumme über 2 Rechte, als Inhaltsmaß eines
Polygons die Summe der Inhaltsmaße der es bildenden Dreiecke ein-
führt. Denn auch hier existiert eine Transformation eines Polygons
in ein inhaltgleiches rechtwinkliges Dreieck gegebener Kathete (vgl.
die unter 59 angewandte Lexell-
sche*) Umformung), und auch hier
ist das Inhaltsmaß gleich bei in-
haltgleichen Polygonen, wovon man
sich nur bei einem in zwei Drei-
ecke transversal zerlegten Dreieck
zu überzeugen braucht. Es ist näm-
lich (s. Fig.)
B/B
διδ"
D
A
=
α + β + γ - 2 Rechte
(α + β + δ΄ – 2 Rechte) +
(α" + γ + δ" - 2 Rechte).
7
C
Wären nun zwei rechtwinklige
α + β΄
1 Rechten
=
1 Rechten,
Dreiecke, OAB, OAC (s. die zweite Fig.) die nur in einer Kathete
übereinstimmen, inhaltgleich, so wäre
A
0
α
β
B
α + α + γ
also
α + β + γ = 2 Rechten,
gegen 59.
Im Nicht-Euklidischen
Fall mit uneigentlichen
C Punkten leistet der stets
positive Defekt der Winkel-
summe an 2 Rechten denselben Dienst als Inhaltsmaß, wenn man
keinen Anstoß daran nimmt, daß bei der fraglichen Transformation
*) Lexell, Acta Petropolitana 1781 I. Vgl. auch Euler, Nova Acta Tom. X
p. 47. Legendre, Géométrie, Note X. J. Steiner, Crelles Journal 2 (1827) р. 45
Werke I (Berlin 1881) p. 101. Lobatschefsky, Neue Anfangsgründe der Geo-
metrie, deutsch von Engel (Leipzig 1898) § 68 p. 133. Gauß, Werke VIII p. 292.