Art. 120-123.
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sich beide aus denselben Dreiecken additiv und subtraktiv zusammen-
setzen lassen.
123. Dann läßt sich bekanntlich jedes Polygon in ein inhalt-
gleiches rechtwinkliges Dreieck von gegebener Kathete transformieren
und es bedarf nur des Nachweises, daß das Resultat dieser Transfor-
mation ein eindeutiges ist. Dieser Nachweis gelingt, indem man jedem
ha
Dreieck als „Inhaltsmaß" I das (halbe) Produkt aus unda bei-
legt, wenn a eine Grundlinie, ha die zugehörige Höhe, e eine gegebene
Einheitsstrecke ist; ein Polygon erhält als Inhaltsmaß die Summe der
Inhaltsmaße von Dreiecken, in die es zerfällt.
a
e
Zunächst ist das Inhaltsmaß eines Dreiecks unabhängig davon,
welche Seite man als Grundlinie wählt. Dies folgt sofort aus 107
und 102 Folgerung. Zerfällt ein Dreieck durch eine Ecktransversale
in zwei Teildreiecke, so ist (nach 103) das Inhaltsmaß des ganzen
gleich der Summe der Inhaltsmaße der Teildreiecke. Eine beliebige
Zerlegung eines Dreiecks ABC in Teildreiecke kann durch solche „trans-
versale" Zerlegungen erzeugt werden. Denn man ziehe von A aus Trans-
versalen durch alle im Innern und auf [BC] liegenden Ecken von Teil-
dreiecken, und sind z. B. [AB₁], [AC₁] zwei aufeinander folgende der-
selben, zwischen denen also keine andere liegt, und liegen auf [AB]
von B₁ auf [BC] an der Reihe nach die Schnittpunkte B2, B3, ... mit
Seiten von Teildreiecken, und entsprechend auf [AC₁] die Punkte C₁,
C2, C3,
so ist z. B. [B₁C2] eine Transversale von AB₁C₁, dann
z. B. [C2B2] eine von AB₁C₂ usw. Durch derartige transversale Zer-
legungen wird auch jedes Teildreieck transversal zerlegt. Daraus folgt,
daß die Summe der Inhaltsmaße der Teildreiecke bei jeder Zerlegung
dem Inhaltsmaß des Dreiecks gleich ist. Zu zwei verschiedenen Zer-
legungen eines Polygons in Teildreiecke existiert stets eine Zerlegung,
aus der beide durch verschiedenartiges Zusammenfassen der Teildrei-
ecke hervorgehen. Demnach ist auch das Inhaltsmaß eines Polygons
von der besonderen Zerlegung unabhängig. Zerfällt ein Polygon R
in die Summe zweier Polygone P+Q, so folgt für die Inhaltsmaße I
also auch
...
I(P+Q) = I(P) + I(Q),
I(R) – I(P) = I(R – P),
also haben auch inhaltgleiche Polygone gleiches Inhaltsmaß. Dar-
aus folgt, daß die Transformation eines Polygons auf ein inhalt-
gleiches rechtwinkliges Dreieck mit gegebener Kathete a eine ein-
deutige ist. Denn erhält man zwei inhaltgleiche Dreiecke mit den
anderen Katheten b und b', so muß nach vorhergehendem