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V. Metrische Geometrie.
108. Satz: Ist ABC ein bei A rechtwinkliges Dreieck und e
eine beliebige Strecke, so ist*)
A
(AB)² + (AC)² = (BC)².
e
e
e
B
A
B
also
A,
C
B
C
D
Beweis: Ist [AD] [BC], so ist ABD~CAB, ACD~ BCA,
BD BA CD
BA
CA
BC'CA CB'
=
e
BD BC
e
e
also (101 Folg.) (BA)² =
(CA) CD CB, also (AB)² + (AC)² = BC (BD+CD) = (BC)²
=
e
e
e
e
e
109. Definition: Durch einen eigentlichen Punkt O lege man
drei Gerade [OE₁], [OE₂], [OE3], die in keiner Ebene liegen. Durch
einen eigentlichen Punkt P ziehe man [PP₁] [OE₁], [PP2] || [OE₂],
[PP3] [PE], so daß P1, P2, P3 in resp. {OE2E3}, {OE3E₁},
{OE₁E} liegen. Als Koordinaten von P werden definiert die Ver-
hältnisse x
=
P, PP P
,
2
P, P
ΟΕ,'
2=
PP
ΟΕ'
mit den Vorzeichen + resp.
genommen, je nachdem (z. B.) P und E₁ auf derselben resp. auf
verschiedenen Seiten von {OE2 E3} liegen.
Einer nicht durch O gehenden Ebene {ABC), welche [OE₁],
[OE₂], [OF] resp. in A, B, C trifft, werden die Koordinaten OF
ΟΕ ΟΕ 1 beigelegt; ist sie parallel z. B. zu [OE₁], so wird statt
OB' OC,
OA'
OF, Null gesetzt. Eine durch O gehende zu {ABC} parallele Ebene
OA
bekommt die Koordinaten OE, OF, OE 0.
OA' OB' OC'
110. Satz: Liegt der Punkt (x, y, z) in der Ebene {a, b, c, d},
so besteht die Gleichung
ax + by + cz = d.
Beweis: Geht die Ebene zunächst nicht durch O, ist also d = 1,
und ist sie keiner der Achsen parallel, so sei
*) Der Satz des Pythagoras, aber als Beziehung nicht zwischen Flächen,
sondern zwischen Strecken-Verhältnissen.