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V. Metrische Geometrie.
a = + b
2
ist. Demnach repräsentiert im Falle = - 1 jede Biquaternion
a + eb, im Falle &² = + 1 jede außer den singulären a (1±8) eine
Bewegung.
95. Im Falle j² = + 1 sind stets uneigentliche Elemente vor-
handen, unabhängig davon, ob Meßbarkeit besteht oder nicht. Be-
steht Meßbarkeit, so ist also die Dreieckswinkelsumme kleiner als
zwei Rechte. Besteht nicht Meßbarkeit, so beschränke man sich zu-
nächst auf ein Teilgebiet, in dem Meßbarkeit besteht; in diesem ist
die Dreieckswinkelsumme kleiner als zwei Rechte, folglich auch all-
gemein.
2
Im Falle j² =
1 liefert z. B. die Quaternion
a =
r
(cos
=
α
2
+ i sin
α
2
)
die Kongruenz yo + i₁Y₁ = (cosa + i₁ sin a) (x + i₁ X₁), (Y3 = X3
auf der Geraden x₂ = 0, X3 1.
Setzt man
X1
Xo
=
1)
= tg, (0<<π) und nennt das Argument
des Punktes (xo, x₁, 0, 1), so entspricht dem Antragen einer Strecke
an einen Punkt & die Vermehrung des Arguments § um eine Größe
a; denn es wird:
Yo + i₁Y₁ = Vxo² + x₁² (cos (§ + a) + i₁ sin (§ + a)).
Besteht also Meßbarkeit, d. h. existiert bei gegebenem ξ, α stets
eine ganze Zahl k so, daß ka > § ist, so existiert auf der Geraden
X2 = 0, x = 1, also überhaupt, kein uneigentlicher Punkt, da alle
Punkte Argumente <r haben, also durch Abtragen einer Strecke
mit irgend einem Argument a stets erreicht werden können. Infolge-
dessen ist in diesem Falle stets die Winkelsumme größer als zwei
Rechte.
Koordinaten, Euklidisch.
96. Im folgenden wird die Winkelsumme des Dreiecks gleich zwei
Rechten vorausgesetzt. Parallel (||) sind zwei Gerade einer Ebene,
die auf einer dritten senkrecht (1) stehen. Durch einen Punkt gibt
es zu einer Geraden & zwar genau eine Parallele, aber eventuell,
nämlich wenn keine Meßbarkeit besteht, mehrere die Gerade & nicht
schneidende Gerade derselben Ebene. Alle Parallele einer Geraden
gehen durch denselben Punkt, den Grenzpunkt der Geraden; derselbe
ist Grenzpunkt auf jeder durch ihn gehenden Geraden. Die Gesamt-