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V. Metrische Geometrie.
Im zweiten und dritten Fall gibt es Punkte, die in ihren Polarebenen
liegen, da die Gleichungen:
- x² + x₁² + x2² + X32
=
0
durch reelle Werte von xo, X1, X2, X3 erfüllt werden können. Da
dies bei eigentlichen Elementen niemals stattfindet, müssen in diesen
beiden Fällen uneigentliche Elemente existieren.
Aber der Fall der Gleichung:
- XoYo + X1 Y1 X2 Y2 + X 3 Y3
=
ist auszuschließen, da in ihm der Satz nicht mehr allgemein gilt, daß
AC + CB + AB ist, wenn A, B, C nicht in einer Geraden liegen
(s. 88).
82. Definition: Ein derartiges Entsprechen zwischen den eigent-
lichen Punkten des Raumes, daß jedem Punkt genau ein Punkt und
jeder Strecke eine gleiche Strecke entspricht, heißt eine Kongruenz.
83. Satz: Es gibt Kongruenzen.
Beweis: Man setze entsprechend dem eigentlichen Punkte A
einen beliebigen eigentlichen Punkt A', dann einem eigentlichen Punkte
B einen Punkt B', so daß A'B' = AB, also B' eigentlich ist; dann
jedem eigentlichen Punkte C₁, von [AB] einen Punkt C₁', ..
von [A'B'], so daß AC₁ = AC₁, usw., was nach 33 möglich ist;
alsdann einem eigentlichen Punkte C, für den [CC₁] [AB] ist,
einen Punkt C', für den [C'C₁'] | [A'B'] und C'C₁ = CC₁ ist; als-
dann jedem eigentlichen Punkte D₁, von {ABC} einen Punkt
D₁' von {A'B'C'}, SO daß AD₁ = A'D₁', usw., was nach 34 mög-
lich ist; alsdann jedem eigentlichen Punkte D, ... für den [DD₁]
{ABC} einen Punkt D', für den [D'D₁'] {A'B'C'} und D'D'
= DD₁ ist, und so, daß z. B. ABCDE ≃ A'B'C'D'E' ist, was nach
35 möglich ist. Dann entsprechen allen eigentlichen Punkten wieder
eigentliche Punkte und alle entsprechenden Strecken sind gleich.
84. Satz: In jeder Kongruenz entsprechen drei eigentlichen
Punkten einer Geraden drei eigentliche Punkte einer Geraden.
Beweis: Sind A, B, C drei Punkte in einer Geraden und A',
B', C' die ihnen entsprechenden, also AB = A'B', AC = A' C',
BC = B'C', so folgt aus (z. B.)
daß auch
AB + BC = AC,
A' B' + B'C' = A'C'
ist; lägen A', B', C' nicht in einer Geraden, so wäre stets: