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V. Metrische Geometrie.
von {PQR}, also von [PO] in allen Ebenen von [PO] liegen auf
der Fußpunktgeraden von Pin {PQR}. Demnach hat jede eigent-
liche Gerade eine Polare. Je zwei Lote einer eigentlichen Ebene liegen
in einer Ebene, gehen durch einen Punkt; also gehen alle durch einen
Punkt d. h. jede eigentliche Ebene hat genau einen Pol. Ist S der Pol
von {PQR}, so ist S ein Lotschnittpunkt von [PQ] und von [PR],
d. h. Schnittpunkt der Polaren von [PQ] und [PR]. Irgend drei Ge-
rade P, Q, R eines Punktes O, die nicht in einer Ebene liegen, haben
Polaren, die zu je zweien in einer Ebene liegen; sie gehen nicht alle
drei durch einen Punkt S, denn der wäre zugleich Pol von {PD},
{PR}, {QR}, was nach vorhergehendem unmöglich; demnach liegen
die drei Polaren, also alle Polaren der Geraden von O in einer Ebene,
seiner Polarebene. Demnach hat jeder Punkt eine Polarebene, und
liegt ein Punkt in einer eigentlichen Ebene, so geht seine Polarebene
durch den Pol der Ebene.
Auf jeder eigentlichen Ebene einer uneigentlichen Geraden P
= [PQ] liegt jeder Punkt von P; also liegen deren Pole in den
Polarebenen aller Punkte von P, also in der Schnittgeraden der Polar-
ebenen von P und Q. Also hat jede uneigentliche Gerade eine Polare.
Je zwei Gerade [PQ], [PR] einer uneigentlichen Ebene {PQR}
haben Polaren, die in der Polarebene von P liegen, sich also schneiden;
je drei Gerade [PQ], [PR], [QR], die nicht durch einen Punkt gehen,
haben also Polaren, die sich zu je zweien schneiden; sie können nicht
in einer Ebene liegen, denn diese wäre Polarebene von P, von Q und
von R, gegen das oben Bewiesene. Also gehen sie durch einen Punkt,
den Pol der uneigentlichen Ebene {PQR}. Also hat jede uneigent-
liche Ebene einen Pol, und liegt ein Punkt in einer uneigentlichen
Ebene, so geht seine Polarebene durch deren Pol.
Koordinaten, nicht-Euklidisch.*)
81. Es werden jetzt, wie in II 150 S. 135, Koordinaten eingeführt,
aber zu dem Zwecke die Grundpunkte A0, A1, A2, A3 in folgender Weise
gewählt. A sei ein beliebiger eigentlicher Punkt, A₁ ein beliebiger
von A, verschiedener Punkt in der Polarebene von A0, A₂ ein be-
liebiger von A, und A₁ verschiedener Punkt in der Polargeraden von
[AA₁], also in den Polarebenen von A, und von A1, A3 sei der Pol
der Ebene {AA₁A₂). Demnach ist noch {A A2 A3 } die Polarebene
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*) Anders als im folgenden begründet Schur, Math. Ann. 55 (1902) p. 265
die nicht-Euklidische Koordinatengeometrie.