268 V. Metrische Geometrie. Für den dritten Fall, in welchem keine uneigentlichen Punkte existieren, konstruiert man eine Geometrie von der verlangten Be- schaffenheit wie folgt. In einer Euklidischen Ebene, deren Punkte alle eigentlich heißen mögen, werde Winkelgleichheit im gewöhnlichen Sinne verstanden, Strecken sollen dagegen gleich heißen, wenn sie von einem bestimmten Punkte O außerhalb der Ebene aus unter gleichen Winkeln gesehen werden. Dann gelten offenbar alle Kongruenzgrund- sätze mit Ausnahme von 11, da kongruente Dreiecke einer Kugel um O von O aus im allgemeinen nicht in ähnliche Dreiecke einer Ebene projiziert werden. Der Satz von der Geraden als kürzester gilt, mit der in 58 bemerkten Einschränkung, da er auf der Kugeloberfläche gilt. 74. In bezug auf das Abtragen von Strecken ist eine Geometrie vollkommen durch die Beschaffenheit der zu jedem Punkte gehörigen Eichovale charakterisiert. Jedes Eichoval ist, wenn man an der ein- deutigen Möglichkeit des Streckenabtragens festhält, so beschaffen, daß es jede Gerade seines Mittelpunktes in genau zwei Punkten schneidet. Zwei Radien AB, AB' eines Eich- ovals heißen gleich; zwei P Q C A B D Q Strecken AB, CD heißen gleich, wenn sie bzw. AB', CD' gleich und AB', CD' gleiche Strecken einer Ge- raden [AC] sind, d. h. wenn (z. B.) AC, B'D' denselben Mittelpunkt haben. Die Exi- stenz eines Mittelpunktes ergibt sich aus Stetigkeitsbetrachtungen. Damit der Satz von der Geraden als kürzester gilt, ist offenbar not- wendig und hinreichend, daß erstens die Zentrale zweier sich schnei- denden Eichovale durch das innerhalb beider liegende Ebenenstück hindurchgeht, und daß zweitens beiderseits derselben nur je ein Schnittpunkt liegt. Wäre die erste Bedingung nicht erfüllt, so wäre (s. die erste Fig.) z. B. C ADE B AC + CB = AD + EB = AB – DE < AB. Wäre die zweite Bedingung nicht erfüllt, so wäre z. B. (s. die zweite Fig.) E zwischen B, C und D zwischen A, E, also: AC+CB=AD+DB