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V. Metrische Geometrie.
Für den Fall, daß die Dreieckswinkelsumme nicht größer als zwei
Rechte ist, kann der Satz einfacher so bewiesen werden: es sei (s. Fig.
S. 263) CA' = CA und inzident CB, ebenso CB' = CB und inzident
CA; dann ist die Winkelsumme im Viereck AA'BB' gleich 2 A'BB'
+2B'AA' nicht größer als vier Rechte, also CAA' <CBB'; da ferner
CB' = CB < CA und CA' = CA > CB, also CBB' <CBA und
CAB<CAA' ist, so folgt CAB<CAA'<CBA, also CAB<
CBA, was zu beweisen war.
70. Satz: In jedem Dreieck ABC ist die Summe zweier Seiten
AC + BC größer als die dritte AB, wenn als dritte Seite AB die
kürzere der beiden Strecken AB genommen wird.
A
C
B
D
Beweis: Es sei (s. Fig.) CD
= CB und auf [CA], aber nicht
inzident CA; dann ist ADB=
CBD < ABD, also AD> AB,
d. h. AC + BC > AB.
Zusatz: Es gilt stets der Satz
AC + BC + AB, wenn A, B, C
nicht in einer Geraden liegen. Denn
ist_AC=AD, D auf AB, so daß
BC=BD, so folgt: ACB=ACD+DCB=ADC+BDC=2 Rechte,
d. h. ACB in einer Geraden.
71. Satz: Gilt ohne Einschränkung der Satz: die gerade Ver-
bindungslinie ist kürzer als jede aus Strecken zusammengesetzte Ver-
bindung zweier Punkte, so sind uneigentliche Punkte vorhanden.
Beweis folgt unmittelbar aus 70.
72. Satz: Gilt der Satz von der geraden Linie als kürzester un-
eingeschränkt und besteht Meßbarkeit, so ist die Winkelsumme nicht
größer als zwei Rechte.
Beweis folgt unmittelbar aus 71 und 67. Legendre bewies den
Satz folgendermaßen: Es sei (s. Fig.) in den Dreiecken ABA₁ ≈
AB₁A2 A2 B2 A3 ~··· die Winkelsumme größer als zwei Rechte;
B
B
B
A
A
A
A
B
dann ist in den Drei-
ecken BABB₁ A₂ B
~ B2 A3 B3 ~..., der
Winkel BA₁ B₁<ABA₁,
also (s. u.) BB₁ < AA₁;
existiert also eine ganze
Zahl n so, daß
n(AA₁ - BB₁)
ist. so ist:
2 AB