Art. 59-62. 257 macht. Alsdann ist also auch der Winkel AB, C, ein Rechter, also die Winkelsumme um den Winkel B2 AC₁ größer als zwei Rechte. 60. Wir können nunmehr den Fall ausschließen, daß sich zwei Lote einer Geraden, die in einer Ebene liegen, in einem eigentlichen Punkte treffen, da sonst (38) keine uneigentlichen Punkte existieren, also (59) die Winkelsumme in jedem Dreieck größer als zwei Rechte ist. Wir können also annehmen, daß in jedem Dreieck höchstens ein A C D B Winkel nicht kleiner als ein Rechter ist. Denn wären etwa (s. Fig.) in ABC jeder der Winkel bei A und B nicht kleiner als ein Rechter, und BAD ein Rechter, ABE ein Rechter, so wäre D nicht außerhalb B, C, also eigentlich, und E nicht außerhalb A, D, also eigentlich. Demnach hätten zwei Lote [DA], [DB] einer Geraden einen eigentlichen Schnittpunkt D, also (38) existierten keine uneigentlichen Punkte. 61. Satz: Existiert ein Dreieck, in welchem die Winkelsumme kleiner, resp. gleich, resp. größer als zwei Rechte ist, so existiert ein ebenes Viereck mit drei rechten Winkeln, in dem der vierte Winkel kleiner, resp. gleich, resp. größer als ein Rechter ist. Beweis: (s. die erste Fig. zu 59.) Ist BO = OC, B₁ O₁ = O₁ C₁, so ist BB₁₁~CC₁O₁, also BO₁=CO₁, also BOO₁~COO₁, also BOO1 ein Rechter. Ferner ist BBC₁ CC₁B₁, also BC₁ = CB₁, also B₁BC ~ CCB, also B₁BO = C₁CO, also B₁BOCCO, also B₁O = C₁O, also B₁OO₁ ~ C₁001, also B₁O₁O ein Rechter. Ferner fand sich die Winkelsumme des Dreiecks ABC gleich B₁BO + C₁CO = 2 B₁BO; also ist B₁BO <, resp. =, resp. > ein Rechter, also BB₁₁O ein Viereck der ver- langten Beschaffenheit. 62. Satz: Je nachdem, ob in einem ebenen Viereck ABCD mit drei rechten Winkeln A, B, C der vierte Winkel D kleiner, gleich oder größer als ein Rechter ist, ist AD größer, gleich oder kleiner als BC, und ebenso CD größer, gleich oder kleiner als AB. A B D'D Beweis: Ist erstens (s. Fig.) BC = AD' 1 Rechter, also (wegen 60) ADC<1 Rechter. Vahlen, Abstrakte Geometrie. 17 C