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V. Metrische Geometrie.
A
59. Satz: Gibt es keine uneigentlichen Punkte, so ist in jedem
Dreieck die Winkelsumme größer als zwei Rechte.
Beweis: Zunächst folgt (s. 38 und Fig. zu 38), daß alle Lote
einer Geraden [AB], die in einer Ebene liegen, durch einen Punkt P
gehen. Ferner ist ABP~BAP, also PA=PB, ebenso PA=PC
usw. Trägt man das Dreieck ABP kongruent an eine andere Gerade
an, so ergibt sich dasselbe für diese. D. h. der Lotschnittpunkt jeder
Geraden in einer Ebene hat von der Geraden einen bestimmten Ab-
stand, der für alle Geraden der gleiche ist. Er werde mit o bezeichnet.
Ist nun (s. Fig.) BN=NA, AM=MC, [AA₁]1[MN], MC₁=MA₁,
NB₁=NA₁, so ist ANA₁~BNB₁, AMA₁~CMC₁, also die Winkel-
summe in ABC gleich B₁BC + C₁CB.
B
B
B
N
N
0
A A'
A, A
Wird jetzt BA' von [NM]
in N' halbiert, und macht man
N'A₁'= N'B₁, halbiert ferner
A₁'C' in M', so ist BB₁N
~ A'A₁'N', also A'A₁' = BB₁
= CC₁, also A₁'M'A'≈
CCM'C, also A'M'C gerade
C
und A'M' = M'C und die
Winkelsumme in A'BC gleich
der in ABC. Hierdurch kann
man das ABC mit Er-
=
haltung der Winkelsumme in ein anderes mit einer Seite
o verwandeln
(s. die zweite Fig.). Macht man nämlich AC₁=0,CN=NC₁, CM=MB,
([MN][AB]) = L, BL= LB₁, so ist
in den Dreiecken BCC und ВСВ
die Winkelsumme gleich, also auch
in ABC und AB₁C₁. Man kann
B
L
B
B
M
C
N
C
A
M
N
L
zweitens den Winkel bei C₁ zu einem Rechten machen, (s. die dritte
Fig.) indem man AM=MB₁, C₁N=NB₁, [C₁L]_[AC₁], B₂L=LC₁