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V. Metrische Geometrie.
39. Die Kongruenzsätze lassen sich auf die uneigentlichen Ele-
mente ausdehnen, da diese auf Grund der eigentlichen Elemente de-
finiert sind. Diese Ausdehnung soll im folgenden nur soweit statt-
finden, wie davon später Gebrauch gemacht wird.
40. Definition: Ein eigentlicher und ein uneigentlicher Punkt
bestimmen eine „uneigentliche Strecke". Zwei eigentliche Gerade eines
uneigentlichen Punktes bestimmen einen „uneigentlichen Winkel".
41. Definition: Zwei uneigentliche Strecken AB, A'B', wobei
B, B' uneigentlich sind, heißen gleich, wenn man LCAB = C'A' B',
CA = C'A', L ACB = A'C' B' machen kann (s. Fig.). In der Tat ist
diese Definition unabhängig von der Wahl des Winkels CAB, der
G
C
C
C'
B
B'
A
A
Strecke CA, und der Ebenen {CAB}, {C'A'B'). Denn ist | C₁AB=
C₁'A'B', C₁A=C₁'A', und sind die entsprechenden Winkel der Ebenen
gleich, so ergibt die kongruente Übertragung einer Desarguesschen
Figur, zufolge der [AB], [CB], [C₁B] durch einen Punkt gehen, daß
auch [A'B'], [C'B'] und die mit [C₁'A'] den Winkel ACB bildende
Gerade von C₁' durch einen Punkt gehen.
Macht man (s. Fig.) in derselben Ebene {CAB}, aber in der
andern Halbebene von [A B] Winkel DAB=CAB, DA=CA, LB°DA=
BCA, so beweist man leicht, daß [DB]
durch B geht (unter Benutzung des Satzes,
daß in einer Ebene alle Lote von [AB]
durch einen Punkt gehen, s. 38).
A
D
B
Dann gilt also auch der Satz: Sind
zwei Strecken einer dritten gleich, so
sind sie einander gleich.
42. Satz: Stimmen zwei gleiche
uneigentliche Strecken AB, AB₁ einer
Halbgeraden im eigentlichen Endpunkte
überein, dann auch im uneigentlichen; sind also A, AB] und AB₁
gegeben, so findet man B eindeutig so, daß AB = A₁ B₁ ist.
Beweis: Ist AB=AB₁, A eigentlich, LCAB=CAB₁, CA=CA,
so muß LACB = ACB₁, also [CB] = [CB₁], B = B₁ sein.
43. Definition: Zwei uneigentliche Winkel ABC, A'B'C'
heißen gleich (s. Fig. S. 249), wenn man AC=A'C', LCAB=C'A' B',