Art. 36-38.
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licher Punkt auf &, definiert durch zugeordnet. Gehen G₁, H1, H1'
durch denselben uneigentlichen Punkt, was mit Hilfe des Desargues-
schen Satzes erkannt wird, so findet dasselbe für G, H, H' statt, wie
sich durch kongruente Übertragung der Desarguesschen Figur ergibt.
38. Satz: Treffen sich zwei Gerade G, H, welche, wie in Satz 26,
mit einer dritten gleiche Winkel bilden, oder also (wegen 26) zwei
Gerade, welche auf einer dritten senkrecht stehen und in derselben
Ebene liegen, in einem eigentlichen Punkte P, so gibt es überhaupt
keinen uneigentlichen Punkt.
=
Beweis: Sind [AP], [BP], [C'C] senkrecht zu [AB] (s. Fig.)
und C, D eigentliche Punkte auf [AB], A′ ein eigentlicher Punkt
auf [AP], also auch B' = ([A'D] [BP]) und C' = ([C'C][A′D])
eigentlich, und AA” — AA′ nicht inzident auf [AA′], ebenso BB"=BB',
CC" CC', so ist A'ADA'AD, B'BD~B″BD, C'CD~C" CD,
also A"B"C" D eine Gerade. Aus LAA'D-AA" D, A'B' A'D—
B'DA"DB" D=A"B" folgt nun A'A"B" A"A'B', also
LA″A'B″=A'A″B'; also (14) A″ AE'~A"AE", wenn E'=([A B][A'B″]),
E" = ([AB] [A″B']) ist; also AE'
=
= AE", d. h. E'
-
·E" oder
([A′B″][A″B′]) liegt auf [AB]. Das-
selbe folgt für ([A' C″][A″ C']) und
([B'C"][B" C']), also durch den Desar-
guesschen Satz aus A'B" C', A″B' C",
daß [A'A"], [B'B"], [C'C"] durch
einen Punkt, also durch P gehen. Dem-
nach gehen alle Senkrechten von [A B]
und nur diese durch P. Durch kon-
gruente Übertragung der Figur ABC P
A
B
P
=
B
C
an dieselbe oder eine andere Gerade [AB] ergibt sich dasselbe für
diese in jeder ihrer Ebenen.
Sind jetzt G, H zwei beliebige Gerade einer Ebene (s. Fig.), so
fälle man von A (auf 6) ein Lot AB auf und errichte in A auf
A
கு
-C
D
B
1
[AB] das Lot ; &, und H schneiden sich in C. Der eine der
beiden Winkel zwischen
also liegt der Schnittpunkt D
eigentlich.
und [AB] ist kleiner als ein Rechter,
=
([BC]) zwischen B und C, ist also