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V. Metrische Geometrie.
Die Beziehung zwischen den Strecken AB, AC, BC wird durch
AB + BC = AC
dargestellt, wobei die Auffassung als Addition willkürlich ist. Die
Strecken-Addition hat aber die folgende Grundeigenschaft:
5. Grundsatz: Summen gleicher Strecken sind gleiche Strecken,
d. h. aus AB+BC=AC und AB=A'B', BC=B'C', soll A'C' = A C
folgen, falls A'C' diejenige Strecke ist, welcher B' angehört.
6. Satz: Die Streckenaddition ist assoziativ und kommutativ;
die Strecken AA sind als einander gleich und gleich Null anzusehen.
Durch die Summe zweier Strecken und den einen Summanden ist der
andere eindeutig bestimmt.
Beweis: Es ist
(AB+BC')+CD=AC+CD=AD=AB+BD=AB+(BC+CD).
Mit Rücksicht auf 2 ist AC == CA, also
AB+ BC = AC = CA = CB + BA = BC + AB.
Aus AB + BX = AB folgt AX = AB also (3) eindeutig X = B,
d. h. BB = 0. Aus AB+ BX = AC_folgt AX = AC also ein-
deutig X = C. Aus AA + AB = AB = AB + BB = BB + AB
folgt also AA = BB.
7. Definition: Das System aller mit der Strecke AB inzidenten
Strecken des Punktes A soll Halbgerade AB] heißen. In bezug auf
zwei Halbgerade AB], AC] eines Punktes A zerfallen alle übrigen
Halbgeraden desselben Punktes A und derselben Ebene {ABC} in
zwei Klassen. Jede der beiden Klassen definiert einen „Winkel"
LBAC = CAB, so daß dieser zweideutige Ausdruck in jedem ein-
zelnen Falle durch Angabe einer der Halbgeraden der betreffenden
Klasse eindeutig fixiert wird. Die Halbgeraden AB], AC] heißen
die Schenkel des Winkels, A seine Scheitel, {ABC} seine Ebene.
Zwei Winkel CAB und CAB heißen inzident, wenn Schenkel AC]
zur Halbgeraden-Klasse von C'AB oder AC'] zur Halbgeraden-Klasse
von CAB gehört. Im ersten Falle heißt jeder dem Winkel CAB
gleiche Winkel kleiner, im zweiten Falle größer als jeder dem Winkel
C'AB gleiche Winkel. Sind AB], AB'] zwei Halbgeraden einer Ge-
raden, ebenso AC], AC'] zwei Halbgeraden einer Geraden, so heißen
die Winkel BAB', CAC' gestreckte, je zwei nicht inzidente Winkel
BAC, BAC' Nebenwinkel und je zwei Winkel BAC, B'AC' des-
selben Nebenwinkels heißen Scheitelwinkel. Ist ein Winkel einem
seiner Nebenwinkel gleich, so heißt er ein Rechter. Geraden, die sich
unter einem Rechten schneiden, heißen senkrecht (1) oder Lote zu-