Die Kongruenzsätze.
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1. Im folgenden werden die Verknüpfungssätze und die Sätze
der reinen Anordnung vorausgesetzt. Die Existenz oder Nichtexistenz
uneigentlicher Elemente bleibt dahingestellt. Existieren uneigentliche
Elemente, so werden auch deren Verknüpfungs- und reine Anord-
nungssätze angenommen.
2. Definition: Durch zwei Punkte A, B einer Geraden werden
alle Punkte derselben in zwei Klassen geteilt, so daß je zwei Punkte
einer Klasse durch A, B nicht getrennt sind. Die Gesamtheit der
Punkte einer der beiden Klassen wird daher durch Angabe eines
ihrer Punkte eindeutig bezeichnet. Jede der beiden Klassen heißt
Strecke AB=BA, wobei vorausgesetzt wird, daß dieser zweideutige
Ausdruck in jedem einzelnen Falle durch Angabe eines Punktes der
Klasse eindeutig fixiert wird. A und B heißen die Endpunkte der
Strecke AB. Zwei Strecken AB, AC einer Geraden heißen inzident,
wenn entweder B ein Punkt von AC oder C ein Punkt von AB ist.
Im ersten Fall heißt jede der Strecke AB gleiche Strecke kleiner als
jede der Strecke AC gleiche Strecke; im zweiten Fall heißt jede der
Strecke AB gleiche Strecke größer als jede der Strecke AC gleiche
Strecke. Die Strecken haben die folgenden Grundeigenschaften:
3. Grundsatz: Wenn A, B, C gegebene Punkte, CX eine
gegebene Strecke ist, so existiert genau ein Punkt D so, daß die
Strecke CD der Strecke AB gleich und der Strecke CX inzident ist.
Dieser Grundsatz ist von den vorhergehenden Grundsätzen unab-
hängig. Denn läßt man z. B. in der gewöhnlichen Euklidischen
Geometrie der Ebene mit rechtwinkligen Koordinaten nur Punkte
(x, y) mit rationalen x, y zu, so existiert auf der durch die Punkte
(0,0), (0, 1) gehenden Geraden von (0,0) an keine Strecke, die der
Strecke der beiden Punkte (0, 0), (1, 1) gleich ist.
4. Definition: Sind A, B, C Punkte einer Geraden und sind
die Strecken BA, BC nicht inzident, so heißt diejenige Strecke AC,
von welcher B ein Punkt ist, die Summe der Strecken AB und BC.