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IV. Affine Geometrie.
Aus
AB + BX = AC
folgt
AX = AC,
also eindeutig
X = C.
Die Anordnung ist offenbar linear, denn man kann diejenigen
Halbgeraden A, B, C,... eines Punktes O, welche in einer be-
stimmten Halbebene von A liegen, also auch die Winkel AB, AC,
eindeutig den Punkten einer sie schneidenden Geraden zuordnen.
Demnach ist die Anordnung der Winkel dieselbe, wie die der Punkte
einer Geraden, und sie bleibt bei Addition eines Winkels, d. h. bei
einer Affinität ungeändert.
173. Über imaginäre Grenzelemente sei nur kurz Folgendes be-
merkt. Drei beliebige Punkte A, B, C des Grenzovals definieren einen
imaginären Punkt desselben. Sind die Seiten des Dreiecks ABC
die in der Ebene {ABC} liegenden Grenzgeraden der Punkte A, B,
C, und ist P = ([BC][B₁C₁]), Q=([CA][C₁A₁]), R = ([AB] [A₁ B₁]),
so definieren die drei in einer Geraden liegenden Punkte PQR den
imaginären Punkt ABC in der früher (s. III 57 S. 165) für ima-
ginäre Punkte gegebenen Darstellung. Ebenso definieren drei be-
liebige Grenzebenen eine imaginäre Grenzebene, drei beliebige Grenz-
gerade einer Ebene eine imaginäre Grenzgerade derselben Ebene, drei
beliebige Grenzgerade eines Punktes eine imaginäre Grenzgerade des-
selben Punktes, drei beliebige Grenzgerade, die sich paarweis nicht
schneiden, eine „hochimaginäre" (s. S. 165) Grenzgerade. Auf Grund
dieser Definitionen beweist man leicht die Sätze: Auf jeder Nicht-
Grenzgeraden liegen zwei reelle oder imaginäre Grenzpunkte; durch
jede Nicht-Grenzgerade gehen zwei reelle oder imaginäre Grenzebenen;
in jedem Büschel gibt es zwei reelle oder imaginäre Grenzgerade;
durch jeden Grenzpunkt gehen zwei imaginäre Grenzgerade, die ganz
auf dem Grenzoval liegen.
174. Im vorstehenden ist die Nicht-Euklidische Geometrie auf
Grund der Verknüpfungs- und Anordnungssätze, der Stetigkeit und
der Existenz der Affinitäten, aber ohne Voraussetzung der Meßbar-
keit begründet worden. Trotzdem war es schon hier im Gegensatz
zur Euklidischen Geometrie möglich, die metrischen Begriffe Strecke
(151) und Winkel (161) einzuführen, und ihre Haupteigenschaften
153, 159, 162, 164, 171 ohne Einführung weiterer Grundsätze ab-
zuleiten. In der Euklidischen Geometrie war dies unmöglich, da dort
z. B. jedes Paar verschiedener Punkte jedem andern in einer ge-
eigneten Affinität entspricht, also gleich wäre.